Количество энергии, получаемое планетой в течение года.

[Крупин]

    Ну что ж, пожалуй пришло время подвести резюме и закончить эту канитель. Проблема решается невероятно элементарно. Как уже указывал Vulpecula Polaris количество получаемой энергии на любом элементарном уголке "дельта фи" всегда одинаково. Связано это с тем, что L=R^2*df/dt=const - момент импульса постоянен. И угловая скорость df/dt обратно пропорциональна квадрату расстояния. Т.е. при уменьшении R, например, вдвое скорость прохождения угла увеличивается вчетверо. А стало быть на прохождение равного угла тратится вчетверо меньшее время.
    Но если R уменьшилось в N раз, то в N^2 раз возрастает радиация, а время облучения (на элементарном угле) во столько же раз падает. Значит, при прохождении равных углов, неважно на каких расстояниях, получаемая энергия одинакова.
   Стало быть надо просто найти производную (постоянную на всём пути) от энергии по углу и помножить на полный угол "два пи".
   Осталось только эту производную найти. Возьмём интервал времени dt . Обозначим энергетическую освещённость (на данном расстоянии) P . Тогда за элементарный интервал времени будет получена энергия dW=P*dt  .
   Выразим dt через df , используя формулу L=R^2*df/dt  . Отсюда dt=R^2/L*df . И тогда dW=P*R^2/L*df . Но P*R2=const (поскольку освещённость обратно пропорциональна квадрату расстояния). Я обозначил эту константу - F . Значит, dW=F/L*df . Интегрирование этого выражения, которое есть константа, сводится просто к умножению на полный угол 2*Pi . Итого, полная годовая энергия W=2*Pi*F/L . И эта формула универсальна для движения в любом центральном поле (а не одном только законе обратных квадратов). При условии, конечно, что освещённость меняется по обратным квадратам.
   Формулу можно обобщить на случай произвольных углов (а не обязательно полных оборотов). W=V*F/L , где V - пройденный планетой угловой интервал.

[Vulpecula Polaris]

2) Я не интегрирую по времени. Суммирую R и отдельно (1/R^2) на отдельно взятых точках. Нахожу среднее арифметическое. Это не вполне строгое математическое действие, но погрешность контролировать позволяет.

А чем вы по вашему занимаетесь?
Решение задачи о нахождении полной энергии, получаемой планетой при движении по орбите сводится к вычислению следующего интеграла:
\[W = \int_{0}^{T}w(t)\,dt            (1)\]
где w(t) - функция, описывающая зависимость количества энергии попадающей на планету от времени.
Понятно, что в зависимости от времени будут изменяться и аномалии, описывающие движение планеты по орбите, поэтому суммарную энергию можно посчитать проинтегрировав по любой из аномалий.
\[W = \int_{0}^{2\pi}w_1(\theta )\,d\theta      (2)\],
где w₁(θ) - функция, описывающая зависимость количества энергии попадающей на планету от одной из аномалий.

Таким образом избежать численного интегрирования при решении задачи нельзя.
Для того, чтобы численно найти значение интегралов 1 или 2, нужно разбить указанную область интегрирования [0, T] для (1) или [0, 2π] для (2). Для каждого интервала нужно посчитать количество энергии, которое было получено планетой на этом интервале. Самый простой способ - это принять, что на интервале [i, i+1] мощность потока возрастает(убывает) линейно, поэтому суммарное количество энергии, полученное планетой на этом интервале можно описать как средняя мощность умноженная на длину интервала т.е например вот так
\[\frac{4}{(r(t_i)+r(t_{i+1}))^2}(t_{i+1}-t_i)\]
Дальше мы просто суммируем все полученные значения на всем интервале от 0 до T.

Либо как я вам предложил можно интегрировать на интервале [0, 2π] углы.
Т.е мы берем угол эксцентрической аномалии и прогоняем его через равные интервалы по всей окружности. Тогда средняя аномалия будет считаться по закону кеплера
\[E-\varepsilon  sinE = M\]
время
\[t=\frac{M}{2\pi}T\]
длина радиус вектора
\[r(E)=a(1-\cos E)\]
остается только посчитать сколько энергии получит планета за время пока эксцентрическая аномалия меняется от E_i до E_i+1, потом просуммировать результаты по всем i.

[Vulpecula Polaris]

Действительно, пора завязывать эту канитель.
Подтвердим теорию практикой.
На java алгоритм номер два (интегрирование по углам)
Исходник

public class Test
{
  public static void main (String ... args)
  {
    try {
      double e = 0.0;
      System.out.println ("Eccentricity | Total energy       | Average radius");
      while (e < 1) {
        doTest (e);
        e+=0.05;
      }
    }
    catch (Throwable e) {
      e.printStackTrace ();
    }
  }

  private static void doTest (double e)
  {
    eccentricity = e;

    double result = 0;
    double avg = 0;
    for (int i = 0; i < STEPS_CNT; i++) {
      double e1 = STEP_LEN * i;
      double e2 = STEP_LEN * (i+1);

      double t1 = getAnomalyTime (e1);
      double t2 = getAnomalyTime (e2);

      double r1 = getDistance (e1);
      double r2 = getDistance (e2);

      double sum = (1/(r1+r2)*(r1+r2))*(t2 - t1);
      avg += r1;
      result += sum;
    }

    double averageRadius = avg/STEPS_CNT;
    System.out.print (String.format ("%.2f", e) + "         | ");
    System.out.print (String.format ("%.16f", result) + " | ");
    System.out.println (String.format ("%.16f", averageRadius));
  }

  private static double getAnomalyTime (double eccentricAnomaly)
  {
    double meanAnomaly = eccentricAnomaly - eccentricity * Math.sin (eccentricAnomaly);
    return (meanAnomaly/(2*Math.PI))*PERIOD;
  }

  private static double getDistance (double eccentricAnomaly)
  {
    //r=a*(1-e*cos(E))
    return MAJOR_SEMIAXIS * (1 - eccentricity * Math.cos (eccentricAnomaly));
  }

  private static final int STEPS_CNT = 100000;
  private static final double STEP_LEN = 2*Math.PI/STEPS_CNT;

  private static final double PERIOD = 1;
  private static final double MAJOR_SEMIAXIS = 1;

  private static double eccentricity;
}

И результат
Eccentricity | Total energy        | Average radius
0,00         | 0,9999999999999999 | 1,0000000000000000
0,05         | 0,9999999999999999 | 1,0000000000000000
0,10         | 0,9999999999999999 | 1,0000000000000002
0,15         | 0,9999999999999999 | 1,0000000000000002
0,20         | 0,9999999999999999 | 1,0000000000000022
0,25         | 0,9999999999999999 | 1,0000000000000040
0,30         | 0,9999999999999999 | 1,0000000000000002
0,35         | 0,9999999999999999 | 0,9999999999999938
0,40         | 1,0000000000000000 | 0,9999999999999992
0,45         | 1,0000000000000000 | 0,9999999999999991
0,50         | 1,0000000000000000 | 0,9999999999999972
0,55         | 1,0000000000000000 | 0,9999999999999934
0,60         | 1,0000000000000000 | 1,0000000000000013
0,65         | 1,0000000000000000 | 1,0000000000000020
0,70         | 1,0000000000000000 | 1,0000000000000095
0,75         | 1,0000000000000000 | 1,0000000000000058
0,80         | 1,0000000000000000 | 0,9999999999999989
0,85         | 1,0000000000000000 | 0,9999999999999903
0,90         | 1,0000000000000000 | 0,9999999999999992
0,95         | 1,0000000000000000 | 1,0000000000000030

Первая колонка эксцентриситет, вторая - полная энергия (значение интеграла), третья средний радиус.
Проверяйте.

ЗЫ. Нашел ошибку. Где считается значение итерации пропущен коэффициент 4. Впрочем принципиально это ничего не изменит, нужно только результат total energy умножить на 4.

[Маринер-9]

Итого, полная годовая энергия W=2*Pi*F/L

  А так как L=sqr(1-e^2), то чем больше е, тем больше энергия..

 А средний радиус R= 1 + e^2/2, то есть чем больше е, тем больше средний радиус.. Всё
Да! И момент импульса тем меньше, чем больше е. Надо запомнить..

[Крупин]

Итого, полная годовая энергия W=2*Pi*F/L

  А так как L=sqr(1-e^2), то чем больше е, тем больше энергия..

 А средний радиус R= 1 + e^2/2, то есть чем больше е, тем больше средний радиус.. Всё
Да! И момент импульса тем меньше, чем больше е. Надо запомнить..

    Чуть-чуть не так. Вообще-то L = корень(G*M*a/2) *корень(1- e^2) , но поскольку Вы считали отношение, то первый корень, одинаковый как для круговой, так и эксцентричной орбитой сократился. Средний радиус тоже несколько не так R=(1+e^2/2)*R_кр , ведь Вы опять же считали в процентах от кругового, да ещё вычитали 100% . R_кр=a/2 - это, конечно радиус круговой орбиты такого же размера большой оси

[Крупин]

   Формула применима к произвольному центрально-симметричному силовому полю. Для примера продемонстрируем на примере движения внутри Земли (сила тяжести прямо пропорциональна расстоянию до центра Земли. Тема https://astronomy.ru/forum/index.php/topic,77318.0/all.html ). В этом случае движения по взаимно-перпендикулярным осям независимы друг от друга и уравнения по осям X и Y имеют вид:
    X=A*COS(w*t) ; Y=SIN(w*t) , где A, B - амплитуды по осям, w - угловая частота  t - время. Допустим, Земля прозрачная, а в центре - лампочка (естественно, с интенсивностью освещения обратно-пропорциональной квадрату расстояния). Найдём интеграл от 1/R^2=1/(X^2+Y^2) по dt за период. Сначала проинтегрируем по первому квадранту (до угла w*t=Pi/2) .
Таким образом надо найти первообразную от функции 1/((A*COS(w*t))^2+(B*SIN(w*t))^2) . Можно убедиться дифференцированием, что в качестве таковой подойдёт функция 1/(w*A*B)*ATAN(B/A*TAN(w*t)) . Поскольку в нуле она = 0 , а при w*t=Pi/2 равна Pi/(2*w*A*B) , то по всему периоду интеграл равен 2*Pi/(w*A*B) . Но w*A*B - это L . Таким образом, выполняется та же формула.   

[Vulpecula Polaris]

Вы уж определитесь, наконец, зависит сумма от эксцентриситета или нет..
А то например вот из этого:

...Значит, при прохождении равных углов, неважно на каких расстояниях, получаемая энергия одинакова...

просто напрямую непосредственно следует, что полная энергия за оборот от эксцентриситета эллипса НЕ зависит.

[Крупин]

Вы уж определитесь, наконец, зависит сумма от эксцентриситета или нет..
А то например вот из этого:

...Значит, при прохождении равных углов, неважно на каких расстояниях, получаемая энергия одинакова...

просто напрямую непосредственно следует, что полная энергия за оборот от эксцентриситета эллипса НЕ зависит.

    Обоснуйте пожалуйста.

[Vulpecula Polaris]

Вы уж определитесь, наконец, зависит сумма от эксцентриситета или нет..
А то например вот из этого:

...Значит, при прохождении равных углов, неважно на каких расстояниях, получаемая энергия одинакова...

просто напрямую непосредственно следует, что полная энергия за оборот от эксцентриситета эллипса НЕ зависит.

    Обоснуйте пожалуйста.

Любой эллипс можно разбить на сумму n секторов с равными углами, исходящими из фокуса. Причем, поскольку эллипс - гладкая кривая, то часть эллипса внутри каждого сектора можно считать частью окружности. При достаточно большом n (т.е когда угол при вершине достаточно мал) отличие получившейся кусочно-гладкой кривой от настоящего эллипса можно сделать сколь угодно малым (достаточно выбрать n побольше).
Таким образом суммарная энергия будет такой:
\[W\approx \sum_{i=1}^{n}w_i\]
Поскольку, как вы сами сказали, "при прохождении равных углов неважно на каких расстояниях получаемая энергия одинакова", то все w_i равны между собой, а их величина зависит ТОЛЬКО от величины угла в основании сектора. Суммарная энергия окончательно будет такой
\[W\approx nw\]
ч.т.д.

[Крупин]

     Не иогли бы Вы объяснить на общепринятом математическом языке?

[Vulpecula Polaris]

Не совсем понимаю что вы подразумеваете под "общепринятым математическим языком" в данном случае. Вроде понятно объяснил.

[Крупин]

    Приведу к примеру один фрагмент из Вашего "объяснения":

Таким образом суммарная энергия будет такой:
\[W\approx \sum_{i=1}^{n}w_i\]

    По Вашему это общепринятый математический язык?
 

[Dayan]

     Не иогли бы Вы объяснить на общепринятом математическом языке?

Вам был задан простой вопрос.

Вы уж определитесь, наконец, зависит сумма от эксцентриситета или нет..

А то в разных постах Вы себе противоречите.
Ещё раз убеждаюсь, что самое типичное поведение для альтов такое, когда доходит до выяснения, что они не правы, предпочитают вообще не отвечать на неудобные для них вопросы.

[Крупин]

   Для Dayan: Вы в математике что-нибудь смыслите?

[Dayan]

   Для Dayan: Вы в математике что-нибудь смыслите?

Смыслю, смыслю..
Вы так и дальше собираетесь переводить тему или всё же ответите на простой вопрос, так для Вас зависит ли получаемая энергия от эксцентриситета или нет, а то в разных постах противоречите себе!

[Vulpecula Polaris]

По Вашему это общепринятый математический язык?

 
У вас что, формулы не отображаются?
У меня это выглядит так

Что уж может быть "математичнее"?

[Крупин]

   В принципе, в этой теме я сказал всё, что хотел.

[konstkir]

 To Vulpecula Polaris
Стареют формулы по пути, до Томска выцветают.
Что-то с настройками Вашего компа.

[Vulpecula Polaris]

Дык у меня то они нормально отображаются. Не выцветают и не стареют.

[Dayan]

У меня тоже с формулами всё нормально, всё отображается хорошо. Наверно, до "гениального" Крупина они не доходят.