Интерпретации квантовой механики

[Хартиков Сергей]

     Цитата Муха_: "Человек, спрашивающий "что вы имеете ввиду под обратимым автоматом" занимается просвящением. "

     Ну я никогда не говорил, будто все знаю. Наоборот, я много чего не знаю. Однако стараюсь обсуждать только то, что знаю. Так что просвещением занимаюсь лишь в узкой области.

     Цитата Муха_: "Че, теорема такая есть?"

     Больцман был первый, кто доказал теорему про энтропию. И был очень разочарован, когда от других ученых услышал простое возражение насчет обратимости законов механики (по сути, Ландау-Лифшиц провели то же самое рассуждение). Нужное место быстро нашлось: это было дополнительное предположение, принятое Больцманом по молчанию. Потом был Пуанкаре и пр., которые другими теоремами подтвердили, что доп.предположение необходимо добавить к обратимым законам.

     Цитата Муха_: "Нет. Я таких примеров не приводил. Я приводил объяснение, сводящее на нет проблему выводимости убывания энтропии из законов механики. Кстати, объяснение было не полное. Но вы не сделали ниодного замечания по теме даже на первом шаге, а значит дальше углубляться бессмысленно."

     Вы там много слов сказали, но без связи с обсуждаемым понятием. Только идеи.

     Цитата Муха_: "Просвятите меня. Покажите в чем противоречие между моим определением и определением в физике. Ваш ответ я могу предсказать "В том, что это разные определения""

     Не я же предложил новое определение. Выполните три указанных пункта - и я отстану.

     Цитата Муха_: "Я цепляю вас, чтобы спровоцировать вас задуматься."

     Честно говоря, я пока ничего нового для себя не услышал (кроме "обратимых автоматов", каковыми не занимался - мало ли существует еще разделов в математике). Все это я уже не раз проходил в молодости самостоятельно (включая и философию, и самокопание, а помимо этого еще и попытки опровергнуть СТО и ОТО, да и квантовую механику заодно, и самоуверенность насчет больцмановского статистического обоснования). Однако после более глубокого ознакомления с предметом выяснял смехотворность своих мечтаний и просто неправильную постановку задачи.

[dzver]

     Вы не договорили: в статистике нет проблем только в одной сфере - в теории равновестных состояний. Вот там - да, все прекрасно работает. Но нет математических теорем, которые только из уравнений классической механики давали бы то настойчивое повышение энтропии, какое мы наблюдаем в эксперименте для неравновесных состояний. Все доказанные теоремы содержат дополнительное предположение, нарушающее симметрию во времени. Поэтому попытки считать поведение энтропии как поведение случайной величины, как-то распределенной вокруг среднего значения (типа, бросания кубиков) - несостоятельны для систем с обратимыми законами. Хотя и кажутся удовлетворительными на первый взгляд.

     Так именно в "равновесных" /в статистическом смысле/ нам-то и нужно, и как вы выразились прекрасно работает.
     А для "настойчивое" повышение...

     Я считаю придумал еще лучшую подробнейшую иллюстрацию, и почему никакие дополнительные ассиметричные "предположения" не нужны. (хотя разумеется их для упрощения модели вводить можно).
     Если и это вас не убедит, не знаю что еще делать.

    Так вот, в цели иллюстрации, сперва представим себе "идеального термодинамического ящика" с газом внутри. Позже буду на него ссылатся.         
    Это такой ящик, который остается закрытым на громадное время tau.
    Газ в ним перебегает все возможные состояния (в дискретном случае; в непрерывном подходит как угодно близко к произвольным прежним состояниям).
    Рассматриваем все в контексте чистой классики - обратимость, детерминизм и пр.
     Обозначим его микросостояния P(tau), их энтропия S(tau).
     В большинстве времени S будет ближе к максимальной Smax, но статистически неизбежно будут и [чудовищно] редкие всплески, когда в результате флуктуаций, энтропия будет заметно ниже Smax (представляем себе графику подобную той которая нарисована в ЛЛ, только время ооочень большое : )
     Теперь, возьмем какой-то обозримый времевой интервал deltaT (типа, три года:), и ведем некоторую классификацию микросостояний S через которых переходит газ в ящиком, которая будет нужна дальше.
     Обозначим (навскидку, точность не важна) более-менее времена в котором возникают всплески нискоентропийных флуктуаций, как tаu1, tau2,...
     Как знаем, интервалы которыми разделены моменты tаu1, tau2... будут статистически [чудовищно] большими, из-за чрезвычайно малой вероятности их возникания (тем не менее, она ненулевая).
      Сейчас обозвем все микросостояния P(tau) которые находятся во временных окрестностей +-delltaT моментов всплесков ниской энтропии tau1, tau2,..., как микросостояния со скрытым порядком. Была такая иллюстрация у Бома - со стаканом густой течности, в котором цветная капля - размешиваем в одну сторону - капля исчезает; размешиваем в другую - появляется опять.
      Думаю идея понятна -  микросостояния со скрытым порядком - это такие микросостояния, которых если "прокрутить" вперед или назад, в обозримом времени получится всплеск ниской энтропии.
      Заметим попутно, что микросостояния со скрытым порядком - состояния с "нормальной" энтропии S~Smax (они опять чудовищно редкие, но "не настолько" редкие, как состояния со всплеском ниской энтропии S(tau1), S(tau2)).
      Надеюсь тут никакие проблемы или противоречия с обратимости, энтропии и статистики, не наблюдается.

      Теперь, после как картина "идеального термодинамического ящика" уже нарисована, вернемся к реальности и возьмем обычный, житейский /но во всем остальном - тот же самый/ ящик.
      И к, как вы сказали, "эксперименте для неравновесных состояний" где "настойчиво" все происходит в одну сторону (я надеюсь, вы имели ввиду после изоляции системы).
      Так пусть в начале газ в нашего /житейского/ ящика, находится в микросостоянии S(0) (S(0) пока никак не ограничено).
      Тоесть запихиваем внутри газ, и закрываем крышку, при котором газ начинает внутри свою эволюцию S(t), на обозримое время deltaT.
      Заметим, что та же эволюция нашего "житейского ящика" однако, обязательно найдется где-то в эволюции "идеального термодинамического ящика" (в дискретном случае, в непрерывном найдется сколь угодно близкий отрезок развития за все данное время deltaT).
      Т.е можно считать, что у нас есть маппинг один к одному, эволюции нашего житейского ящика, к той же самой эволюции, находящейся где-то на графике "идеального ящика" (смотрим на картинку идеального ящика и ищем "та же" последовательность ; )
      Теперь проанализируем начальное микросостояние S(0) на которое [пока] нет никаких ограничений.
      Согласно нашей классификации микросостояний, оно обязательно является одним из (смотрим на картинку идеального ящика):
      а) какое-то микросостояние с ниской энтропии S(tauk) [чудовищно малая часть всех состояний]
      б) какое-то микросостояние с высокой энтропии, но скрытым порядком S(tauk)+-deltaT [чудовищно малая часть всех состояний, хотя не так малая, как а)]
      в) обычное состояние с высокой энтропии [подавляюще большая часть состояний]

      Теперь, появляется физик и делает несколько экспериментов "переходных процессов в замкнутом ящике":
      e1) Тыкает газ в уголке ящика (состояние S1(0)), затыкает крышку и наблюдает за эволюции (через окошко :) на время ~ deltaТ (заметим, что все позжие микросостояния, хотя и высокоэнтропийные на отличие от S1(0), являются микросостояниями со скрытым порядком)
      e2) Вдувает газ в ящике как попало, более менее равномерно распределенным (состояние S2(0)), затыкает крышку и наблюдает за эволюции (через окошко :) на время ~ deltaТ

      Проводя это несколько раз, он убеждается, что как бы он не располагал газ в начале, все междинные состояния, как и конечное - всегда состояния с большой энтропии, и ему никак не удается обнаружить чтобы газ в случае е2 или е1, хоть раз собрался во время дальнейшей эволюции, в S1(0)-подобным нискоентропийном состоянии, типа a).
      И при этом, задает собственно ваш вопрос про "настойчивости" необратимости: "почему НИ РАЗУ у меня, начиная с высокоэнтропийным состоянием, у меня не образовался нискоэнтропийный всплеск за обозримое время deltaT? Ведь обратное происходит много раз, а это - ни разу!"
     
      Теперь ответ должен быть очевидным - все дело в граничных условий наложенных на состояние S(0).
      Тут также вступает в действие и то, что чем Муха_ пытался объяснить.
      Все дело в том, что состояние S2(0) никогда не является состоянием со скрытым порядком (в силе их чрезвычайной редкости).
      А экспериментатор, хотя и может подготовить состояние е1 сколь угодно раз, но подготовить состояние со скрытым порядком по желанию не умеет. Скорее умеет, но только в "неправильной стороны" - случай е1 (но это не годится, так как он не может наложить нискоэнтропийное условие в будущем). А в случае е2, он просто "тыкает наугад" в некоторое из высокоэнтропийных состояний, и (смотрим на идеального ящика) - неизбежно попадает на обычное высокоэнтропийное состояние без скрытым порядком.

      Теперь, последний штрих - нужно устранить экспериментатора (хотя он, в некотором смысле, мало отличается от камня или скажем, холодильника :)
       Так понятно почему экспериментатор, не может создаст состоянием со скрытым порядком. Но как быть с природой, ведь она "справедливо беспристрастна", и "естественным путем", должна создавать состояния?
       На самом деле, почему мы наблюдаем в натуре ситуацию "солнце взглянуло из-за туч, нагрело половину ящика, молекулы перемешались", но никогда не наблюдаем обратную "ящик с перемешанным газом, вдруг газ разделился по теплоты, и теплая половина излучила луч в небо"??
       Ответ тут опять не труден, и он таков.
       Важно увидеть, что нискоэнтропийные состояния могут в принципе получаться путем двух фундаментально различных способов: либо ввод в системе отрицательной энтропии (порядка) извне, либо "естественно", как случайным маловероятным флуктуационным всплеском.
       На самом деле, во ВСЕХ ситуаций когда мы наблюдаем поведение типа е1 (с експериментатором, солнце нагрело ящик и пр.), мы имеем дело не со случайном всплеском нискоэнтропийного состояния которые служило бы для начало эволюции за которой мы подсматриваем, а с наперед выбранном начальном состоянием, на которым нискоэнтропийное условие накладывается извне.
       Практически во ВСЕХ ситуаций типа е1 (с експериментатором или нет, солнце нагрело ящик и пр.), которые мы наблюдаем - начальное состояние формируется притоком негэнтропии извне, а НЕ "естественно" случайным, статистическим образом.
        Если бы мы, в своей статистике наблюдений за "естественных" явлений, убрали из рассмотрения все случаи где нискоэнтропийное начальное состояние S(0) является результатом инжектировании негэнтропии в ящике, и оставили только те, в которые начальное состояние S(0) возникает "естественным", статистическим образом - то тогда бы мы наблюдали полную симметрию - вероятность спонтанного скучивания газа будет равна вероятности его спонтанного распыления.
        Для этого достаточно вспомнить, что состояния ящика мапятся на состояния идеального ящика - но теперь, "специальный выбор" начального условия устранен - все начальные микросостояния выбираются случайным образом.
         Даже, хотя и выглядит парадоксально, чаще (скорее "менее чудовищно реже") будут наблюдаться случаи в котором эволюция начинается с микросостояниям со скрытым порядком (и высокой энтропии), чем с микросостояниям с всплеском с ниской энтропии (просто потому что их "статистически больше") - т.е. менее редко будет наблюдаться "скучивание где-то в интервале deltaT", чем "эволюция с нискоэнтропийным начальном состоянии".
         Таким образом, очевидно что "направление возрастания энтропии" (и соответно, ассиметрия во времени) инжектируется в ящике извне, а не присуще ему естественным образом, из-за локальных законов которые полностью симметричны.
         Встает конечно вопрос - почему и откуда берется это направление? Вот тут начинается эскаляция в поиске причины направления на уровнях все выше. Называть этого "тенденциозности" или "настойчивости" - суть не изменится : )
         Но локально, нет никакого якобы противоречия с обратимых физических законов.

     Даже представить себе не могу. Кстати, КМ не является обратимой (из-за измерений).

     Ладно, и то хорошо, что не выбрали 2).
     Насчет обратимости КМ - как-то на следующий раз... : )

     Вот в этом все дело, что он может классически посмотреть. Он никогда не будет квантовым телом, а всегда останется классическим. И нельзя его будет описать чистым квантово-механическим состоянием. Квантовые системы не существуют в том смысле, в каком мы привыкли считать существующим дерево или еще что-то. Квантовые системы - это просто язык описания происходящего в природе.

     А я и не стремился быть оригинальным:)  Хотя специально отметил, что он "в целом" будет квантовым телом; а классические измерения будут иметь место только для его подсистем когда они подсматривают друг за друга.
    Квантовые системы конечно язык происходящего... а по-вашему что нибудь вне этого языка вообще происходит, или существует только язык описания?

     Цитата dzver: "А вы как считаете - если во вселенной существовала только одна, скажем, молекула - у нее будут происходить классические события называемые "измерением", или она только и будет эволюционировать обратимо по КМ?"

     Вопрос некорректен. Молекула - это квантовая система, она не существует "сама по себе" без классических тел (надеюсь, имеется в виду именно "квантовая" молекула, а не те "молекулы-океаны" из популярной литературы).

Нет, "вопрос некорректен" - ну что вы выкручиваетесь, так играть не интересно ! : )
Значи, моя молекула "сама по себе" не существует, а ваш человек "сам по себе существует"?
Ладно, скажите тогда сколько молекул нужно слепить, чтобы они могли начать существовать сами по себе, как ваш человек? : )

[konstkir]

Ни хрена себе.

[Хартиков Сергей]

     Цитата dzver: "Если и это вас не убедит, не знаю что еще делать."

     Это даже Больцмана не убедило, что уж про меня говорить.

     Цитата dzver: "Надеюсь тут никакие проблемы или противоречия с обратимости, энтропии и статистики, не наблюдается."

     Мне это понятно. Но почему Вы решили, что введенная Вами "классификация микросостояний" в действительности соответствует энтропии в термодинамике? Скажем, Больцман для этого доказал свою H-теорему. Вы тоже должны проделать нечто подобное.

     Цитата dzver: "Но локально, нет никакого якобы противоречия с обратимых физических законов."

     Статистика и теория вероятностей сами по себе не могут являться обоснованием. Поэтому используются вместе с определенными начальными постулатами типа "гипотезы молекулярного хаоса" в H-теореме Больцмана. Кроме того, необходима явная связь с уравнениями механики. А также с термодинамикой. Попробуйте доказать аналогичную теорему, не пользуясь дополнительными предположениями.
     Фактически Вы утверждаете, что никакого возрастания энтропии на самом деле нет - что все это видимость, а на самом деле бывают только редкие флуктуации (это известная позиция). А Вы попробуйте теперь с такой позиции рассмотреть не идеальный газ, а всевозможные системы, изучаемые в термодинамике. Где гарантия, что для нарушения известных законов потребуется чудовищное время? Ведь в термодинамике закон формулируется именно как неуклонное возрастание энтропии, а не ее поведение в виде флуктуаций.

     Цитата dzver: "Квантовые системы конечно язык происходящего... а по-вашему что нибудь вне этого языка вообще происходит, или существует только язык описания?"

     А я вообще не знаю ни одной физической теории, в которой бы что-либо происходило, кроме событий, описываемых теорией.

     Цитата dzver: "Нет, "вопрос некорректен" - ну что вы выкручиваетесь, так играть не интересно! Значи, моя молекула "сама по себе" не существует, а ваш человек "сам по себе существует"? Ладно, скажите тогда сколько молекул нужно слепить, чтобы они могли начать существовать сами по себе, как ваш человек?"

     Есть в природе что-то, что мы все вместе понимаем, как "материальные тела". Мы общаемся друг с другом, сообщая сведения о событиях, происходящих с этими "телами". Здесь ни у кого (кроме всяких солипсистов и т.п.) проблем, вроде, не возникает (да и эти тоже живут в обществе, фактически соглашаясь со всеми остальными). Нам непосредственно доступно какое-то ощущение этих самых "материальных тел". Мы изучаем эти "материальные тела", пытаясь сформулировать красивые законы. На каком-то этапе мы выходим на такой уровень изучения, когда для описания их поведения приходится использовать понятия, не имеющие знакомых нам образов в "ощущениях". Человек - один из примеров (экспериментальных примеров) такого "материального тела". "Молекула" - это пример понятия для описания свойств этого "тела" (хотя нам часто и удобно для упрощения рассуждений считать ее одним их "тел").
     Можно ли рассматривать задачу в такой постановке: допустим, во Вселенной ничего нет, кроме функции Лагранжа, требуется узнать, как она себя будет вести? Сколько функций Лагранжа требуется, чтобы появился смысл в этой задаче?

[dzver]

Я не могу представить эксперимент, посредством которого наблюдатель установит существование нелокальности. Если где-то есть изолированная часть автомата в которой нечто происходит, эта часть будет вносить случайные помехи и не даст наблюдателю увидеть какие-либо нелокальные закономерности.

Так ведь и квантовая механика вводит "случайные помехи" на микроуровне, которые однако маскируются на макроуровне. Тем не менее нелокальность вполне детектируема статистическим путем Белловского критерия; нелокальные закономерности будут именно (псевдо)статистическими - т.е. "помехи" тут не критичны.

Совершенно согласен. Ждем такую статью.

Подождем-с... : ) Когда выйдем на пенсии наверно, если мозги совсем не прогнили

Что касается обратимых автоматов, то действительно это очень интересное направление.

Мне даже кажется, что если правила и начальные условия подобраны сполучливо, одна только нелокальность по четности сможет сделать автомата обратимым (без дополнительного xor-правила и "двойного такта"). Правда в этом совершенно не уверен.

Опять не понимаю..

Мне кажется,  вы не так поняли мою идею про введения нелокальности путем "четности", вот поясню конкретно.
Выбираем правило например, 37R. На входе все считаем как если бы обычным путем получить состояние автомата на следующем такте, только в конце используем еще раз для дополнительного пересчитывания один дополнительный бит 0 или 1, который считаем так как сумму единиц по пространствe состояния всего автомата на данном "порождающем" такте.
Этот бит - один и тот же, входит в генерацию следующего поколения ВСЕГО автомата. Он можен меняться только от такт на следующий (когда опять пересчитываем четность по всего пространство автомата).
В общем случае, это может выглядеть так. Выбираем две (обратимые?) правила, например навскидку 37R и 38R. Задаем как-нибудь нулевую и первую генерацию автомата (они оба нужны, так как следующее поколение определяется двумя предыдущими). Теперь, считываем к-во единиц которые заданы на "первом" поколении (по всего автомата). Пусть получаем нечетное число, тогда наш "бит" - 1. И мы пользуем соответно правило 37R, чтобы посчитать вторую генерацию (как обычно по правиле 37R). Теперь генерация 2 рассчитана. Опять считаем единицы по всему так полученному 2-рому поколению. Пусть получилось так что на этот раз они - четное число. Наш "бит четности" тогда - 0. Поэтому на этот раз, посчитываем третью генерацию уже пользуясь правилом 38R (а не 37R как на прежний раз). И так далее. На каждый шаг - исчисляем бит четности генерации, и в зависимости от него пользуем либо правило 38R, либо 37R.
Вот этот примерный путь введения нелокальности, я и имел ввиду.
Конечно, такая "смесь" правил двух автоматов, не гарантирует строгой обратимости (хотя наверное как-нибудь можно сделать ее и строго обратимой, напр. пользуясь 2-ух битов четности - для последней и предпоследней генерации - типа того как каждый обычный автомат можно сделать обратимым.)
Наконец,я имел ввиду, что если выбрать два автомата не 37R и 38R а например 37R и 37R-xor (который дает инвертированные биты) - то, может быть, при соответных начальных условиях "случайно получить" обратимую эволюцию. Если например они подобраны так, что выполняется поочередно то 37R, то 37R-xor.
Типа того : )

Это вы так быстро соображаете, или есть какие-то ваши (или не ваши) наработки?

Читал то что писали другие, наработок нет, иногда соображаю быстро, иногда медленно : )
В данном случае не так много исходной информации которой можно пользоваться - обратимость, детерминированность - и все. Зато результаты - довольно общие:)

Собственно, к этим формулировкам и доказательствам я уже пришел. Не заметил только особенности, напиcаной вами в PS.
Правда мне хочется чего-то более общего: понятия о некой виртуальной субстанции, которая сохраняется в автомате. Вроде определения инфомации по Колмогорову.

Вообще-то, еще вопрос есть ли такая субстанция - для конкретного автомата ее может и быть, а может и нет.
Все наблюдаемые вами эмпиричные закономерности - вроде следуют только из самых общих свойств автомата - обратимость, детерминированность - а не из конкретного правила.
Может лучше подойти с другой стороны - если "нужно" чтобы что-нибудь еще сохранялось в фундаментальном смысле - попробовать как-то зашить это в правил самого автомата (типа, как введением xor по прежнего поколения, можно образовать обратимого из любого необратимого автомата).
Кстати, информация - не сохраняется...

Заметил еще одну интересную аналогию с физикой. Если объект одиноко движется во вселенной, то его можно считать зацикленным.
Если навстречу ему движется другой объект, то в совокупности эта конструкция уже не зациклена, т.е. система из двух обектов обладает большим движением, чем каждый в отдельности. Это аналог кинетической энергии, которая имеет относительный смысл и зависит от выбора системы отсчета.

Заметил еще одну интересную аналогию с физикой. Если объект одиноко движется во вселенной, то его можно считать зацикленным. - это строго можно доказать, это очевидно следует из обратимости и детерминированности (если объект достаточно долго не вылезает из некоторого характеристичного размера L)
Если навстречу ему движется другой объект, то в совокупности эта конструкция уже не зациклена,.. - опять очевидно верно, поскольку если обратим направление времени, конструкция будет неограниченно расширяться т.е. не повторит никогда ни одно из своих состояний, что противоречит зацикленности.
Еще если "мир" автомата топологически замкнут, он всегда зациклен.

...т.е. система из двух обектов обладает большим движением, чем каждый в отдельности. Это аналог кинетической энергии, которая имеет относительный смысл и зависит от выбора системы отсчета. - А вот тут я не понял...

Да, действительно... К сожалению, мне не удалось больше найти ни двумерного ни одномерного автомата с той же степенью эмержентности, что у 37R.
Я обнаружил, что поведение автомата тем тривиальнее, чем симметриченее его правила. Самый симметричный автомат  - который просто копирует начальное состояние. Автоматы с большим числом ассимметрий в правилах порождают хаотичное поведение. Эмержентность возникает на границе между этими классами автоматов. 37R как раз там и находится. Я более менее исследовал все 2-мерные автоматы с xor на указанной границе и ничего интересного не нашел.
Может чего пропустил. Их было около 100. Искать вдали от границы невозможно (слишком много вариантов) и божет быть бесперспективно.

Не понял для двухмерных автоматов - как так "с xor на указанной границе" и "вдали от границы" - что это за граница? Если про введения обратимости,  -  разве она не вводится тем же самым образом как и при одномерных - включая еще и по-предыдущее поколения xor-ом для вычисления следующего?
Насчет 2-х и 3-мерных - там уже становится интересно, можно такие правила замутить /напр. по кругу в зависимости направления обхода вокруг клетки, типа хиральности/.
Но 1-мерные хороши для оттачивания, я например был уверен, что вы не исследовали нелокальных автоматов типа моего предложения с "четности" (да и в нете вроде ничего путного нет) - вот и подкинул идейку. Да и я не против посмотреть, если нагенерите картинки.

Почему получим передачу информации? У меня интуиция говорит обратное.
Например, как вы видите передачу информации если ввести нелокальность по четности? Ведь "скорость света" для "объектов" опять останется, и ее нельзя будет превысить. А то что нелокальные корреляции будут - это очевидно.

Допустим, наблюдателю удалось выделить подсистему, состоящую всего из нескольких бит, в которой соблюдается зависимость развития от четности.
Тогда умышленно влияние на один бит будет мгновенно отражаться в других битах, что можно обнаружить. Другое дело, если наблюдатель в принципе не может установить состояние всех бит подситемы, поскольку измерительный эксперимент непредсказуемым образом меняет биты подсистемы (непредсказуемость обусловлена незнанием полного состояния измерителя и так далее). Может вы это имеете ввиду? Тогда нужно каким-то образом запретить приготовление нелокальных систем, с желаемым состоянием. Принцип четности наверном может вносить неустранимые помехи в процесс приготовления... Если вы об этом, тогда кажется понимаю.

Не понял.... кажется мы не про одно и то же (но я выше пояснил конкретно мое примерное предложение для четности).
Мое видение такое...
Эволюция выделенной [под]системой очевидно, будет нелокальным образом зависеть на каждый такт, "одномоментно" от битов ВСЕГО автомата (не только "четности ее собственных битов"; это как бы некошерно так как требует "выделение системы", что является абстракцей на уровнем выше основных правил).
Таким образом, "вся вселенная" спутана, не только отдельные, выборочно взятые объекты.
Поэтому в каждой области будет, на первый взгляд, некоторая "непредсказуемая, абсолютная стохастичность" (которая не определяется никаким образом только локальной информации).
Тем не менее, допускаю возможным существование например изолированных объектов (возможно, не очень элементарных) "устойчивых к перемены четности" - которые будут иметь предсказуемое (или квази-предсказуемое, т.е. в статистическом смысле) поведение, независимо от введенной нами нелокальности в правил.
Теперь начинается фантастика... : )
В идеале, нам нужно что то наподобие источника испускающий в противоположных сторон пары "спутанных частиц" типа глайдеров. Если динамика обратима конечно, сам источник объектом быть не может - он должен типа "таять"; либо если устойчивый объект его можно скажем, "накачивать" потоком "частиц", искуственно генерируемых на границе.
На пути спутанных частиц генерируемых источником, в обе рукава стоят объекты - "детекторы" - типа триггеры которые, провзаимодействавав со своей из "спутанных частиц" (и евентуально излучив, что нужно), переключают свое состояние каким-нибудь отличимым, устойчивым образом. Нужны по меньшей мере, два устойчивых "макросостояния".
Еще все это должно наверное развиваться в по меньшей мере двухмерного автомата, а то у нас не будет необходимой степени свободы для реализации всей этой установки (на данный  момент не представляю как можно сформулировать аналог неравенств Белла в одномерном случае, да и нарушение там если есть, будет как бы тривиальным).
Потом просто считаем вероятности, показывая что критерий Белла нарушается : )

Если такой подход вам не нравится по субъективным причинам, прочитайте Кастанеду, и вам станет пофиг :).

Я читал, да мне и так пофиг : )

Да, нечто подобное мне приходилось читать. Я не знал, что этому явлению уже даже дали название. Я плохо владею английским, и поэтому все время иду на шаг позади и изобретаю велосипед :).

Пользуйтесь гугл переводом http://translate.google.ru/#, вполне приличный резултат. Переизобретать по моему не плохо, даже полезно и нужно!

Может по достижении какой-то критической массы "количества родственных закономерностей/объем автомата" происходит всплеск корреляций макроскопического масштаба, который фиксируется субъективно как нелокальность?
Если бы мир оказался так устроен, это был бы номер :). Не очень верится. Тогда вся физика упаковалась бы в единую онтологию, но ведь есть еще мы, или нас нет:)?

Не совсем понял.. но про корреляций макроскопического масштаба - почему бы нет, все что нужно это большие объекты-триггеры которые очень чувствительны (в как бы неустойчивом состоянии) через которых микровзаимодействие может эскалировать на большом уровне.
Субъективно не нужно, нужно с подсчетом доказывать... А место интуиции в выбора пути, как подойти к проблему, что исследовать - что отказаться, и т.д.

[dzver]

    Это даже Больцмана не убедило, что уж про меня говорить.

(устало) Ну как хотите.

    Цитата dzver: "Надеюсь тут никакие проблемы или противоречия с обратимости, энтропии и статистики, не наблюдается."
     Мне это понятно. Но почему Вы решили, что введенная Вами "классификация микросостояний" в действительности соответствует энтропии в термодинамике? Скажем, Больцман для этого доказал свою H-теорему. Вы тоже должны проделать нечто подобное.

    Я не классифицировал только по энтропии. Вы даже не читали что я писал : ((
     Кроме того, я ничего делать не должен. Я просто неформально иллюстрировал объяснение, почему введение локальной ассимметрии по времени не нужно. И как объяснение некоторой типической для предмета обсуждения системы, отлично обходится без него. Пользуясь готовыми результатами, не разъясняя по ходу каждые детали что уже проделаны и более того, вы их знаете.

    Цитата dzver: "Но локально, нет никакого якобы противоречия с обратимых физических законов."
     Статистика и теория вероятностей сами по себе не могут являться обоснованием. Поэтому используются вместе с определенными начальными постулатами типа "гипотезы молекулярного хаоса" в H-теореме Больцмана. Кроме того, необходима явная связь с уравнениями механики. А также с термодинамикой. Попробуйте доказать аналогичную теорему, не пользуясь дополнительными предположениями.

     Я не спорю, что мои рассуждения неформальны - и поэтому конечно, строгим доказательством не являются.
      Но моя цель была не это.
      Вместо того, чтобы найти изъян в моих рассуждений и ткнуть в него пальцем, вы предлагаете мне доказывать хрен знает что.
      А может тогда, вместо этого вы мне докажете строго, что локальная необратимость во времени - является обязательной? : ) Ваша позиция даже не является общепринятой (если вы не считаете общие замечания в ЛЛ к которым меня отослали, общепринятой парадигмы по определению)

    Фактически Вы утверждаете, что никакого возрастания энтропии на самом деле нет - что все это видимость, а на самом деле бывают только редкие флуктуации (это известная позиция).

Да, совершенно верно, если система замкнута, и начальное состояние не выбрано специально, т.е. путем внешнего притока негэнтропии.

А Вы попробуйте теперь с такой позиции рассмотреть не идеальный газ, а всевозможные системы, изучаемые в термодинамике. Где гарантия, что для нарушения известных законов потребуется чудовищное время? Ведь в термодинамике закон формулируется именно как неуклонное возрастание энтропии, а не ее поведение в виде флуктуаций.

Так значит, для идеального газа все-таки вы согласны...? Или нет?
С какой стати мне рассматривать все что вам захочется? А завтра может, мне надо и небоскреба рассчитать, вдруг в ним хрен знает что можно происходит - что не объясняется тем, что я до сих пор рассмотрел? : )
Если термодинамика формулируется статистически в виде флуктуаций - а не как "неуклонное возрастание" - это ничему не противоречит (и тут, я не выдумаваю что-то новое).
Это вы утверждаете, что нельзя объяснить локально термодинамику через обратимых законов, и чтобы противоречия не было, нужно что-то "еще" (что именно, не знаете).
Моя позиция экономнее - что ничего более не нужно, так как термодинамика через обратимых законов объясняется просто (если не восходить вверх по загадку источникам негентропии к всю вселенной). И я подробно разьяснил ее неформально.
А вы, вместо того чтобы подкрепить вашу позицию - ткнув пальцем в конкретного факта который иллюстрирует (заметьте даже не требую чтобы "неопровержимо доказывает", как вы от меня - я и с полслова пойму, если конкретики есть) либо изъян рассуждений, либо явная необходимость дополнительно внедрении локальной ассиметрии - отсылаете меня рассчитывать "всевозможные системы, изучаемые в термодинамике"? Даже не указав конкретную систему или причину, из-за которой те неформальные рассуждения которые я изложил - невалидны??
Если таки конкретных аргументов нет - так и быть, каждый при своем, и разойдемся, до следующей интересной теме.

    А я вообще не знаю ни одной физической теории, в которой бы что-либо происходило, кроме событий, описываемых теорией.

   Значит, все же какие-то события кроме языка происходят - и то хорошо.

    Цитата dzver: "Нет, "вопрос некорректен" - ну что вы выкручиваетесь, так играть не интересно! Значи, моя молекула "сама по себе" не существует, а ваш человек "сам по себе существует"? Ладно, скажите тогда сколько молекул нужно слепить, чтобы они могли начать существовать сами по себе, как ваш человек?"
     Есть в природе что-то, что мы все вместе понимаем, как "материальные тела". Мы общаемся друг с другом, сообщая сведения о событиях, происходящих с этими "телами". Здесь ни у кого (кроме всяких солипсистов и т.п.) проблем, вроде, не возникает (да и эти тоже живут в обществе, фактически соглашаясь со всеми остальными). Нам непосредственно доступно какое-то ощущение этих самых "материальных тел". Мы изучаем эти "материальные тела", пытаясь сформулировать красивые законы. На каком-то этапе мы выходим на такой уровень изучения, когда для описания их поведения приходится использовать понятия, не имеющие знакомых нам образов в "ощущениях". Человек - один из примеров (экспериментальных примеров) такого "материального тела". "Молекула" - это пример понятия для описания свойств этого "тела" (хотя нам часто и удобно для упрощения рассуждений считать ее одним их "тел").
     Можно ли рассматривать задачу в такой постановке: допустим, во Вселенной ничего нет, кроме функции Лагранжа, требуется узнать, как она себя будет вести? Сколько функций Лагранжа требуется, чтобы появился смысл в этой задаче?

Спасибо для подробного объяснения вашей позиции : )
Я бы не настаивал, если вы были последовательны - и "человеческое тело", и "молекула" - либо оба "не существуют, это только понятия" - либо обе "существуют" и мы можем описывать их худо-бедно, как можем.
Но у вас-то разделение - человеческое тело может существовать само собой, а молекула - только понятие, сама существовать не может. Так как известно что человеческое тело все же, состоит из молекул - то вопрос где граница, неизбежен.
Итого... так понимать, для вас молекула, телом не является? (кроме как только в кавычках).
Но - вы задали новый вопрос про Лагранжа - но не ответили на мой вопрос - сколько минимум (и почему именно столько) молекул нужно слепить, чтобы получить что-то "материальное", что достойно называться "телом"? Например, молекула белка, ДНК - физическое тело? или она тоже, описание чего-то, что само по себе существовать не может?

[Муха_]

..сколько минимум (и почему именно столько) молекул нужно слепить, чтобы получить что-то "материальное", что достойно называться "телом"? Например, молекула белка, ДНК - физическое тело? или она тоже, описание чего-то, что само по себе существовать не может?

В каждом отдельном случае эта граница подсознательно устанавливается в место, которое позволяет обосновать свою позицию. Если это не помогает, то можно в рамках одного утверждения устанавливать границу сразу в нескольких местах. Тогда вообще можно обосновать все что угодно.

Подбор границы работает бессознательно. Извне приходит противоречие, возникает ощущение беспокойства, мозг автоматически пододвигает границу, противоречие исчезает, психический гомеостаз восстанавливается. Это работает просто как бачок унитаза (т.е. система с обратной связью).

[Муха_]

    Больцман был первый, кто доказал теорему про энтропию. И был очень разочарован, когда от других ученых услышал простое возражение насчет обратимости законов механики (по сути, Ландау-Лифшиц провели то же самое рассуждение). Нужное место быстро нашлось: это было дополнительное предположение, принятое Больцманом по молчанию. Потом был Пуанкаре и пр., которые другими теоремами подтвердили, что доп.предположение необходимо добавить к обратимым законам.
льную постановку задачи.

Допустим, мы описываем на бумажке состояния N молекул. Молекулы можно расположить в неком порядке, выбранном произвольно.  Далее проводим вычислительный эксперимент, рассчитывая что будет с этой системой через время T. Далее, вычисляем энтропию для  начального состояния и конечного. Как вы считаете, на практике мы будем наблюдать в таком вычислительном эксперименте увеличение энтропии?  Будем. Начальный введенный искусственно порядок будет размываться, а новый порядок образовываться не будет.

В вычислительной модели нет никаких посторонних факторов, кроме законов механики. Значит, эмпирически наблюдаемый в вычислительных моделях закон возрастания энтропии обусловлен только законами механики.

Если вы считаете, что возрастание энтропии в вычислительном эксперименте обусловлено чем-то, что я ввел в вычислительную модель и сам не заметил, скажите что это.

Если уже в самой модели имеется понижение энтропии, зачем нам предполагать, что есть некий внешний не включенный в модель фактор? Нужно просто найти, как конкретно законы механики порождают закон возрастания энтропии в рамках модели. Но это не очень сложный вопрос, поскольку он касается всего-лишь объяснения эмерджентного свойства модели и не имеет отношения к физике и реальной вселенной.

Т.е. есть модель: законы механики. Вычислительные эксперименты показывают, что эта модель эмерджентно порождает закон возрастания энтропии. Нужно показать, что закон возрастания энтропии возникает с необходимостью в этой модели.
Тут мы имеем право привлекать теорию информации, расширять определения и так далее, поскольку речь идет всего лишь о математических свойствах модели. Расширять модель произвольным образом для того, чтобы доказать ее свойства – это стандартный прием в математике.
Я это когда-то и сделал на этом форуме с привлечением понятия об количестве информации по Колмогорову.

Чего здесь не хватает?

Я знаю чего, но надо чтобы вы сами спросили.

[markal]

Допустим, мы описываем на бумажке состояния N молекул. Молекулы можно расположить в неком порядке, выбранном произвольно.  Далее проводим вычислительный эксперимент, рассчитывая что будет с этой системой через время T. Далее, вычисляем энтропию для  начального состояния и конечного. Как вы считаете, на практике мы будем наблюдать в таком вычислительном эксперименте увеличение энтропии?  Будем. Начальный введенный искусственно порядок будет размываться, а новый порядок образовываться не будет.

Тут следовало бы показать, что энтропия термодинамическая, и энтропия, вычисляемая Вами для некоторой структуры, суть одно и то же. Если это разные вещи, то наблюдая за чем-то одним, следует делать выводы только относительно той области, в которой проводятся наблюдения.
Начальный порядок, размытость, хаос и пр., как мне представляется, более всего являются функцией наших знаний о системе, и характеризуют систему вместе с наблюдателем. Так что в этой области, по-видимому, еще много вопросов без ответа (или я их просто не знаю).

[Vallav]

Допустим, мы описываем на бумажке состояния N молекул. Молекулы можно расположить в неком порядке, выбранном произвольно.  Далее проводим вычислительный эксперимент, рассчитывая что будет с этой системой через время T. Далее, вычисляем энтропию для  начального состояния и конечного. Как вы считаете, на практике мы будем наблюдать в таком вычислительном эксперименте увеличение энтропии?  Будем. Начальный введенный искусственно порядок будет размываться, а новый порядок образовываться не будет.

С год назад проходило в новостях.
Такое проделали.
Получили - энтропия болтается ( при небольшом числе объектов ) и довольно
сильно.

[Муха_]

Тут следовало бы показать, что энтропия термодинамическая, и энтропия, вычисляемая Вами для некоторой структуры, суть одно и то же. Если это разные вещи, то наблюдая за чем-то одним, следует делать выводы только относительно той области, в которой проводятся наблюдения.
Начальный порядок, размытость, хаос и пр., как мне представляется, более всего являются функцией наших знаний о системе, и характеризуют систему вместе с наблюдателем. Так что в этой области, по-видимому, еще много вопросов без ответа (или я их просто не знаю).

Я не сказал как конкретно вычислять энтропию и как расставлять молекулы. Подготовьте такую ситсему и вычисляйте энтропию, чтобы получилась термодинамическая.

[Муха_]

Мне кажется,  вы не так поняли мою идею про введения нелокальности путем "четности", вот поясню конкретно...

Это как раз понятно. Правда, я пока не вижу способа практически это реализовать. В автоматах с xor типа 37R строка вычисляется на основании двух предыдущих. Законы как бы накладываются друг на друга, что может сделать автомат необратимым.  Кроме того, любое смешивание правил тут же приводит к потере свойств эмержентности.

Может лучше подойти с другой стороны - если "нужно" чтобы что-нибудь еще сохранялось в фундаментальном смысле - попробовать как-то зашить это в правил самого автомата (типа, как введением xor по прежнего поколения, можно образовать обратимого из любого необратимого автомата).
Кстати, информация - не сохраняется...

В 37R приближенно сохраняется количество объектов. Этот закон связан из самой возможностью существования объектов в обратимом автомате. Два объекта не могут объединиться в один. Один объект не может самопроизвольно без столкновения с другим разделиться. В некоторых сложных взаимодействиях количество немного меняется, но всегда держится около среднего уровня. Чем не сохранение энергии?

...т.е. система из двух обектов обладает большим движением, чем каждый в отдельности. Это аналог кинетической энергии, которая имеет относительный смысл и зависит от выбора системы отсчета. - А вот тут я не понял...

Сам не понимаю, но какая-то аналогия есть .

Не понял для двухмерных автоматов - как так "с xor на указанной границе" и "вдали от границы" - что это за граница?

Берем определенный класс обратимых автоматов. Например, одномерные с использованием xor для создания обратимости.
Вводим максимально симметричное правило 0, которое просто копирует комбинацию за 2 хода.
Далее не трогая правила для несимметричных комбинаций, перебираем все варианты правил комбинации для симметричных комбинаций (111,000,101,010). Если подставлять 1-ку в одно или 2  правила, поведение как правило остается тривиальным.
Если в 3 или 4 – поведение становится случайным. Автомат 37R – это 3 правила, отличных от 0.

То же самое я проделывал с 2-мерными автоматами. Выделил правила, обрабатывающие симметричные комбинации и начал подставлять в них единички.
Если единичек много, поведение получается случайным. Если мало – тривиальным.
Золотой середины не оказалось и автомата с формированием объектов как у 37R я не нашел.
Мне показалось, что дело в том, что 2-мерное пространство дает несравнимо больше возможностей для порождения непредсказуемого поведения автомата. Поэтому любой автомат, чуть отдаленный от правила 0 порождает хаос.
Более сложные правила, при которых 1-ка устанавливается для несимметричных комбинаций может быть не имеет смысла и рассматривать, поскольку все они будут порождать сплошной хаос.

Мое видение такое...
Эволюция выделенной [под]системой очевидно, будет нелокальным образом зависеть на каждый такт, "одномоментно" от битов ВСЕГО автомата (не только "четности ее собственных битов"; это как бы некошерно так как требует "выделение системы", что является абстракцей на уровнем выше основных правил).
Таким образом, "вся вселенная" спутана, не только отдельные, выборочно взятые объекты.
Поэтому в каждой области будет, на первый взгляд, некоторая "непредсказуемая, абсолютная стохастичность" (которая не определяется никаким образом только локальной информации).
Тем не менее, допускаю возможным существование например изолированных объектов (возможно, не очень элементарных) "устойчивых к перемены четности" - которые будут иметь предсказуемое (или квази-предсказуемое, т.е. в статистическом смысле) поведение, независимо от введенной нами нелокальности в правил.
Теперь начинается фантастика... : )
В идеале, нам нужно что то наподобие источника испускающий в противоположных сторон пары "спутанных частиц" типа глайдеров. Если динамика обратима конечно, сам источник объектом быть не может - он должен типа "таять"; либо если устойчивый объект его можно скажем, "накачивать" потоком "частиц", искуственно генерируемых на границе.
На пути спутанных частиц генерируемых источником, в обе рукава стоят объекты - "детекторы" - типа триггеры которые, провзаимодействавав со своей из "спутанных частиц" (и евентуально излучив, что нужно), переключают свое состояние каким-нибудь отличимым, устойчивым образом. Нужны по меньшей мере, два устойчивых "макросостояния".
Еще все это должно наверное развиваться в по меньшей мере двухмерного автомата, а то у нас не будет необходимой степени свободы для реализации всей этой установки (на данный  момент не представляю как можно сформулировать аналог неравенств Белла в одномерном случае, да и нарушение там если есть, будет как бы тривиальным).
Потом просто считаем вероятности, показывая что критерий Белла нарушается : )

Непонятно почему неравенства Белла должны нарушаться.
Если мы заменим подсчет четности на генератор случайных чисел, что изменится в поведении объектов?
Т.е. на каждом шаге программа генерирует случайное число, которое используется во всех вычислениях. Такой автомат будет вести себя точно так же как автомат с четностью.
Какие-то эффекты возможны на уровне всего автомата, но не на уровне объектов внутри автомата.

[dzver]

Правда, я пока не вижу способа практически это реализовать.

Может, попробовать напрямую, "в лоб"? ; )

В автоматах с xor типа 37R строка вычисляется на основании двух предыдущих. Законы как бы накладываются друг на друга, что может сделать автомат необратимым.  Кроме того, любое смешивание правил тут же приводит к потере свойств эмержентности.

Насчет необратимости - если как "доноров" взять две обратимые правила, и вычислять четность только по последней строки, мне кажется, что автомат получится квазиобратимым (т.е. обратимым в некотором статистическом смысле).
Но можно подумать и как добиться точной обратимости.
Про эмержентности - конечно, мутант едва ли наследует такое свойство из правил которые "скрещиваем". Но эмерджентность свойство непредсказуемое - может, она появится из скрещивания двух иначе, тривиальных /или хаотичных/ автоматов. Наперед нельзя сказать.

В 37R приближенно сохраняется количество объектов. Этот закон связан из самой возможностью существования объектов в обратимом автомате. Два объекта не могут объединиться в один. Один объект не может самопроизвольно без столкновения с другим разделиться. В некоторых сложных взаимодействиях количество немного меняется, но всегда держится около среднего уровня. Чем не сохранение энергии?

Сам не понимаю, но какая-то аналогия есть.

Я вспомнил и перечитал статью Марголуса http://people.csail.mit.edu/nhm/looking-at-nature.pdf, где эти инварианты (энергия, импульс) выводятся в операторном виде (формализм почти идентичен квантовым).

Там рассматриваются не конкретные правила, а обобщенный случай вычисления (т.е. энергия и импульс определяются из самых общих соображений).
Поэтому выводы будут валидны для всех возможных правил, которые отвечают условия унитарности оператора эволюции - т.е. приложенный многократно, приводил в исходное состояние через n ходов: U^n X0 => Xn = X0
Это тривиально выполняется для замкнутых топологически автоматов (где пространство и брой возможных состояний конечен) - но так или иначе сохранение "интереснее" когда "зацикливание" происходит и в автономных подобластей - т.е. существовали "объекты" (топологическая замкнутость возможна, но необязательна).

Попытаюсь перевести в практическую процедуру вычисления на одномерной решетки, и напишу результаты в следующем сообщении.

Берем определенный класс обратимых автоматов. Например, одномерные с использованием xor для создания обратимости.
Вводим максимально симметричное правило 0, которое просто копирует комбинацию за 2 хода.
Далее не трогая правила для несимметричных комбинаций, перебираем все варианты правил комбинации для симметричных комбинаций (111,000,101,010). Если подставлять 1-ку в одно или 2  правила, поведение как правило остается тривиальным.
Если в 3 или 4 – поведение становится случайным. Автомат 37R – это 3 правила, отличных от 0.

Теперь понятно. Но вы не объяснили самое интересное - почему исключать несимметричных комбинаций из эксперимента, а всегда оставлять их нулями?
Если чтобы не нарушить пространственную симметрию - так кажется, все что нужно это чтобы обе зеркально-симметричные относно центра ассиметричные правила (тьфу, надеюсь понятно), давали один и тот же результат... Напр. можно подсунуть единичек как результат, в обе 110 и 011?
(при R правил пусть следуем договорку всегда говорить про первую часть правила, в которое 2 хода назад нули - так как вторая часть из него происходит однзначно путем xor-a)

То же самое я проделывал с 2-мерными автоматами. Выделил правила, обрабатывающие симметричные комбинации и начал подставлять в них единички.
Если единичек много, поведение получается случайным. Если мало – тривиальным.
Золотой середины не оказалось и автомата с формированием объектов как у 37R я не нашел.
Мне показалось, что дело в том, что 2-мерное пространство дает несравнимо больше возможностей для порождения непредсказуемого поведения автомата. Поэтому любой автомат, чуть отдаленный от правила 0 порождает хаос.
Более сложные правила, при которых 1-ка устанавливается для несимметричных комбинаций может быть не имеет смысла и рассматривать, поскольку все они будут порождать сплошной хаос.

Почему считаете что несиметричные комбинации обязательно порожают "сплошный хаос"....? Так сильно сужается круг возможных автоматов; трудно поверить, что в 2d не происходит ничего интересного : (
Если нет каких-то веских соображений, я бы только соблюдал одинаковый выход при симметричных границ (которые переходят друг в друга при поворота и/или зеркального отражения) - чтобы правило было пространственно и зеркально симметричным.

Непонятно почему неравенства Белла должны нарушаться.

Я не уверен, что будут нарушаться (да и возможно ли это вообще в одномерном автомате).
Но нелокальность будет. А без нее, неравенства нарушаться точно не будут.
(конечно в обычном, а не "супердетерминистичном" смысле)

Если мы заменим подсчет четности на генератор случайных чисел, что изменится в поведении объектов?

Ээ.. будет только "случайное внешнее влияние", это другое.
При подсчета счетности, мы его считаем из самого автомата и он влияет на развития популяции - которое со свою сторону определяет новую счетность на следуюшем шаге.
Так сказать, при счетности будет нелокальная обратная связь. При этом, сузится множество возможных эволюций автомата, это накладет некоторые нелокальные ограничения степеней свободы.
При генератора случайных чисел будет только одностороннее влияние, что не интересно.

Т.е. на каждом шаге программа генерирует случайное число, которое используется во всех вычислениях. Такой автомат будет вести себя точно так же как автомат с четностью.

Нет, не будет точно так же (теоретически). Хотя "для всех практических целей", может и получится что вы правы : (

Какие-то эффекты возможны на уровне всего автомата, но не на уровне объектов внутри автомата.

Да, на уровне всего автомата, и эффекты будут нелокальные, которых иначе нельзя получить с никаких правил. Например, интуитивно кажется, что это может еще и привести к неким дополнительным законам сохранения (типа некие объекты создаются только парами "объект"-"антиобъект" и т.д., в 2d и 3d может быть поинтереснее, евентуально если глобально сохраняются некие ориентации и т.д)
А может, и не получится ничего интересного :) Я не настаиваю на четность, просто нелокальность - неисследованная возможность.

А что вы считаете "хаосом" (который не нравится)? И с какие начальные условия тестируете автоматов.. Случайное распределение нулей/единиц?

[Муха_]

Про эмержентности - конечно, мутант едва ли наследует такое свойство из правил которые "скрещиваем". Но эмерджентность свойство непредсказуемое - может, она появится из скрещивания двух иначе, тривиальных /или хаотичных/ автоматов. Наперед нельзя сказать.

Мне показалось, что чем сложнее система, тем меньше вероятность эмерджентности.
Если в системе слишком большое число “симметрий”, то подобрать эти симметрии так, чтобы отстроиться от хаоса становится почти невозможно.

Я вспомнил и перечитал статью Марголуса http://people.csail.mit.edu/nhm/looking-at-nature.pdf, где эти инварианты (энергия, импульс) выводятся в операторном виде (формализм почти идентичен квантовым).

Да, вы мне давали ссылку на эту статью в прошлый раз.
Я чуть мозг не сломал, пытаясь интерпретировать в воображении то место, где автор сперва “We can construct a new two-element energy basis by adding the two configuration states in two different ways:” а затем переходит к комплексным числам. По моему, здесь в исходную схему вносится искусственное расширение. Дальше когда мы исследуем свойства полученной системы, что мы исследуем? Свойства внесенные этим расширением, или свойства исходной системы?

Теперь понятно. Но вы не объяснили самое интересное - почему исключать несимметричных комбинаций из эксперимента, а всегда оставлять их нулями?

На основании выборки, размером 1 . Автомат 37R имеет 0-и во всех несимметричных комбинациях.
У меня есть интуитивное понимание, что всякую систему можно разложить на множество “симметрий” из которых она состоит. Как число можно разложить на множители. При этом поведение системы тем сложнее, чем больше симметрий в системе заложено.
Симметрией можно считать любую выявляемую в системе закономерность. Главное не перепутать реальную внутреннюю симметрию системы с субъективной, обусловленной позицией рассмотрения. Это все пока туманно...

Если чтобы не нарушить пространственную симметрию - так кажется, все что нужно это чтобы обе зеркально-симметричные относно центра ассиметричные правила (тьфу, надеюсь понятно), давали один и тот же результат... Напр. можно подсунуть единичек как результат, в обе 110 и 011?

Таких правил для 2-мерного автомата слишком много. Количество я подсчитывал. Не помню точно сколько получилось. Вроде несколько миллиардов.  Мне одному все не пересмотреть.

А что вы считаете "хаосом" (который не нравится)? И с какие начальные условия тестируете автоматов.. Случайное распределение нулей/единиц?

В качестве начальных условий я выбирал пустое поле, на котором размещал простейшую случайную комбинацию из 5-10 клеток.
Если бы автомат был подобен 37R, то комбинация излучала бы несколько “волн”  или других объектов, и после этого зацикливалась или иссякала.
В некоторых автоматах комбинации испускают волны бесконечно долго, значит они не годятся.
В некоторых автоматах, комбинации иссякают, запустив волны, но не наблюдается устойчивых периодических комбинаций.
В некоторых автоматах и комбинации иссякают, и периодические комбинации возможны. Но при этом, если сделать исходную комбинацию чуть сложнее, то “волна» пересекая периодическую комбинацию порождает растущую область с хаотичным поведением, чего нет в 37R.

Кроме того, все процессы в автоматах имеют вид распространяющихся “волн”. Т.е. в автоматах совсем нет подвижных частиц. Это и естественно, так как я рассматривал только правила в которых 1-ка ставится только на симметричные относительно поворота на 90 град. комбинации. Не уверен, что в таких правилах вообще возможны движущиеся частицы . Поискать что-ли среди простейших несимметричных?
 
37R одномерен. Это дает ему важное преимущество: волна и частица в одномерном автомате – это одно и то же. Т.е. одномерные автоматы по определению включают в себя корпускулярно-волновой дуализм. Для двух и более мерных автоматов такого нет. Частица там может существовать если она нечто вроде солитона. Однако если правила настолько сложны, что делают возможным такие конструкции, тогда хаос в развитии почти неизбежен.

Может для этого природе и потребовалась квантовая механика? Чтобы в 3-мерном пространстве воспроизвести автомат с устойчивыми объектами.

[Хартиков Сергей]

     Цитата dzver: "Я не классифицировал только по энтропии. Вы даже не читали что я писал"

     Читал. Неважно как Вы классифицировали, важно лишь то, что это всего-лишь пример, который, как уже заметил Марк, совсем не обязан иметь отношение к термодинамической энтропии.

     Цитата dzver: "Вместо того, чтобы найти изъян в моих рассуждений и ткнуть в него пальцем, вы предлагаете мне доказывать хрен знает что. А может тогда, вместо этого вы мне докажете строго, что локальная необратимость во времени - является обязательной? : ) Ваша позиция даже не является общепринятой (если вы не считаете общие замечания в ЛЛ к которым меня отослали, общепринятой парадигмы по определению)... Если таки конкретных аргументов нет..."

     Почему же не является общепринятой? В термодинамике имеется закон именно в такой формулировке: энтропия замкнутой системы не убывает (или в эквивалентной). Закон используется во многих математических выводах. Там нет никаких оговорок или разрешений считать, что это чисто статистическое следствие, связанное с редкостью соответствующих событий. И именно в такой формулировке этот закон закон невозможно вывести только из обратимых теорий. Это и есть тот конкретный аргумент.
     Так что тут два варианта: согласиться с этим или изменить формулировку закона на предлагаемую и полностью переписать всю термодинамику. Кто это будет делать?

     Цитата dzver: "Так значит, для идеального газа все-таки вы согласны...? Или нет?"

     С чем? Закон возрастания (неубывания) для него тоже невыводим. Я имел в виду изложенное в предыдущем абзаце этого сообщения.

[Муха_]

Давайте объясним апории Зенона, оставаясь в рамках исходных понятий, как их понимал Зенон. Или займемся еще каким-нибудь увлекательным делом.

Задача в том виде как ее решал Больцман не представляет никакого интереса в настоящий момент. Если мы хотим изучать эмержентность модели, это надо делать в рамках теории информации. Если мы хотм найти преовопричины, это нужно делать в рамках философии.

[dzver]

Да, вы мне давали ссылку на эту статью в прошлый раз.
Я чуть мозг не сломал, пытаясь интерпретировать в воображении то место, где автор сперва “We can construct a new two-element energy basis by adding the two configuration states in two different ways:” а затем переходит к комплексным числам. По моему, здесь в исходную схему вносится искусственное расширение. Дальше когда мы исследуем свойства полученной системы, что мы исследуем? Свойства внесенные этим расширением, или свойства исходной системы?

Нет, никакое расширение не вносится искуственно.
Просто показывается, как квантовоподобный формализм можно естественно ввести для описания самого обычного компьютера (автомата, процессора состояний). Тоесть квантовоподобное описание - получается "эмерджентным" способом для описания на самом деле детерминистичного процесса исчисления. И пользуясь этих идей на поле обычной, он даже оригинально (в другой статье) вывел для КМ (для обычной КМ физики) формулу - как максимальное к-во состояний которое квантовая система может обходить за единицу времени, ограничено ее энергии.

Я попытаюсь пересказать основные положения на более понятном языке, и в контексте автоматов.
Будет длинное сообщение. С продолжением.
Не считайте меня графоманом, но захотелось попытаться объяснить вам идею Марголуса (тот же самый подход и у Хоофта, но Хоофт делает ставку на необратимости). Она довольно красива, а вы этом интересуетесь. Да и все что нужно чтобы понять это линейная геометрия и, малость воображение.
Сначала думал переслать его вам в личку, но потом решил что может быть, еще кому то будет интересно.

1. Понятия

Берем обычный n-битный компьютер - но без ввода-вывода. (в нашей аналогии - это n-битное состояние одномерной строки клеток. Или двухмерной области n-клеток. Все что нужно - чтобы клетки были как-то идентифицированы, т.е. например одноначно пронумерованы)
Количество всевозможных внутренних состояний [памяти] этого компа (или области клеток) - 2^n.
Конкретное состояние "n-битной памяти" (области n клеток) можно записать как (b1,b2,...bn).
Каждому из этих состояний, можно условно сопоставить (например, путем перечисления) единичного "дискретного" 2^n векторa X (его компоненты ВСЕ кроме одного - биты стойности 0, и только одна позиция - 1).
Таким образом, всевозможные состояния клеток B, взаимнооднозначно отображаются на "единичные дискретные" вектора X в 2^n-мерном "двоичном" пространстве.
Всевозможные 2^n вектора X - все "ортогональны" друг другу (и поэтому, в данном смысле такими считаются и соответствующими ими B).

Внимание, не путать разные записи состояния как (b1,b2,b3...bn), и как "единичного вектора состояния" X (в первой записи - все биты разные и размер n, во втором - только 1 единичка и все нули, размер 2^n). В обобщенной формальной записи мы можем ими пользоваться взаимнооднозначно, но если расписываем "для наглядности" как последовательность битов - будут разные записи.
Это очень важно чтобы избежать путаницы. Например в циклической двоичной последовательности 000 -> 010 ->011 -> 000 -> 010.... , все конфигурации считаются ортогональными, т.е. независимыми друг от друга единичными векторами в 3-мерном пространстве.
Если нужно можем их переписать как цикл e1 -> e2 -> e3 -> e1 -> e2, или переобозначить в виде базисных векторов {0,0,1} -> {0,1,0} -> {1,0,0} -> {0,0,1} (как будем делать ниже). Но сами 010, 010, 011 - нельзя "складывать" с друг в друга в этой побитной записи, или считать зависимыми каким-нибудь "внутреисчислительным способом" в побитной записи - они ортогональны и линейно (и вообще) независимы.
Правило отображения задается "в лоб", для всей совокупности битов, так что "внутребитовая" зависимость не требуется.
В таком смысле, все равно реализируется ли цикл 000 -> 010 ->011 -> 000 -> 010...., или 100 -> 110 ->010 -> 100 -> 110..... .- эти последовательности одно и то же с точности до переименования, и описывают один и тот же тришаговый цикл, обхода ортогональных базисных векторов, в трехмерном пространстве.

Теперь рассмотрим всевозможные программы (операторы эволюции, правила) для этого n-компа (или области n клеток).
Конкретная программа F, должна на каждом возможном входе B0 ({b01,b02,b03...b0n}) который ее подсунуть, производить "следующее состояние" B1.
Тоесть, это просто функция, производящая отображение n-битного состояния, в нового n-битного состояния:
f(b01,b02,b03....) => (b11, b12,b13... b1n), для всевозможных входных состояний.
Это можно записать и операторно (если подразумеваем что B - некие векторы в своем n-мерном пространстве):
F*B0 => B1
где F - некий вообще нелинейный оператор (программа, правило) (можно ли записать его в деталям и как в B-пространстве, для наших целей неважно, он задан изчерпывающе "в лоб" функцией f, либо формально записи F)

Если однако, пользоваться для n-мерными входными состояниями B их записи через соответствующих 2^n мерных "единичных векторов Х", можно пользоваться (матричной) линейной записи того же самого оператора:
U*X0 => X1
Тут уже U - линейный оператор (соответствующий F), переводящий базисных 2^n мерных единичных векторов X (соответствующих B), друг в друга. Его можно представить как матрицу U 2^n x 2^n, у которой элементы только нули и единицы, и притом у нее обязательно каждая строка или вертикаль - все элементы нули кроме одного, который единица - и "выбирает" в каком новом базисном векторе преобразуется тот, который подан на входе.

Таким образом, (через отображение B <-> X, F<-> U), можно "однозначно перейти в другом пространстве" в котором в линейном представлении записывать действия всех возможных "программ" /эволюций/ - пользуясь обычной арифметикой линейной алгебры. (Которые в записи F*B0 => B1, нелинейны)

Важно понимать, что это только разные записи (представления) одного и то же.
Марголус везде обозначает их одинаково (U, X) но в примерах расписывает биты в записи (F,B) - что может внести некоторую путаницу. Поэтому я ввел разных обозначений несмотря на то что они изоморфны.

Сколько разных "программ" вообще существует для данного n-битного компа?
Несложно подсчитать "в лоб". Домен над котором определенна "программа", состоит из 2^n возможных входных состояний. На выходе каждого из них возможно задаст опять 2^n разных векторов.
Итого для n-битного компа, существуют точно (2^n)^(2^n) = 2^(n*2^n) разных "программ".
Например, для 1-битного, существуют 4 возможных "программ" U (операторов эволюций, "правил"):
f(0)=0, f(1)=0 ||| U*(01) = 01, U*(10) = 01
f(0)=0, f(1)=1 ||| U*(01) = 01, U*(10) = 10
f(0)=1, f(1)=0 ||| U*(01) = 10, U*(10) = 01
f(0)=1, f(1)=1 ||| U*(01) = 10, U*(10) = 10

Для 2-х битного - 2^8 = 256:
f(00)=00, f(01)=00, f(10)=00, f(11)=00 ||| U*(0001)=0001, U*(0010)=0001, U*(0100)=0001, U*(1000)=0001 
f(00)=00, f(01)=00, f(10)=00, f(11)=01 ||| U*(0001)=0001, U*(0010)=0001, U*(0100)=0001, U*(1000)=0010 
f(00)=00, f(01)=00, f(10)=00, f(11)=10 ||| U*(0001)=0001, U*(0010)=0001, U*(0100)=0001, U*(1000)=0100 
f(00)=00, f(01)=00, f(10)=00, f(11)=11 ||| U*(0001)=0001, U*(0010)=0001, U*(0100)=0001, U*(1000)=1000 

f(00)=00, f(01)=00, f(10)=01, f(11)=00 ||| U*(0001)=0001, U*(0010)=0001, U*(0100)=0010, U*(1000)=0001
f(00)=00, f(01)=00, f(10)=01, f(11)=01 ||| U*(0001)=0001, U*(0010)=0001, U*(0100)=0010, U*(1000)=0010 
f(00)=00, f(01)=00, f(10)=01, f(11)=10 ||| U*(0001)=0001, U*(0010)=0001, U*(0100)=0010, U*(1000)=0100 
f(00)=00, f(01)=00, f(10)=01, f(11)=11 ||| U*(0001)=0001, U*(0010)=0001, U*(0100)=0010, U*(1000)=1000 
....
... и так далее каждая строка - "конкретная программа" (оператор) - их можно явно перечислить (только занимают много место :)

Каждая строка - полное описание программы, изчерпывающее ее результат на всевозможных входов. Я записал каждой из "программ" в обоих записей,  разделенные через |||.

(Кстати заметьте что это более общее по сравнению с "наших" правил которые пользуем только на 3 соседних клеток - данное преобразование действует "одновременно" на ВЕСь входный вектор, чтобы получить ВЕСь исходный того же размера. )

U (или F) - это конкретная "программа", "оператор эволюции", "правило" (дальше эти понятия - синонимы). X (или B) - "состояние, конкретный набор состояния клеток, вектор (дальше эти понятия - синонимы).


2. Эволюция, унитарность

Очевидно, что если приложим оператор эволюции U над некотором входном состоянии Х0 несколько раз, то он, проходя евентуально через начальный "переходный период", рано или поздно зациклится с некотором периодом N:
X0, U*X0=X1, U^2*X0=X2,....U^p=Xp,...U^k=Xk=Xp, .... U^(k+N)=Xk=Xp......
где Xp состояние, предшествующее Xn, N=(k-p)
Это потому что состояния - конечное количество 2^n, и размер цикла N будет <=2^n
Если эволюционный оператор обратим, то переходного процесса не будет, и первое состояние которое повторится, будет обязательно именно Х0 (этого можно легко доказать):
X0, U*X0=X1, U^2*X0=X2,.... U^N=XN=X0, U^(N+1)=X1,.... U^(2N)=XN=X0......
Для простоты рассматриваем дальше только обратимые эволюционные операторы, не оговаривая.

Длина конкретного цикла N зависит не только от самого эволюционного оператора, но и от конкретного начального состояния X0.
Интересно отметить, что таким образом эволюционный оператор U разбивает все возможные 2^n состояния на некоторое количество непересекающиеся "классы циклов" (спектр циклов), по критерию принадлежности состояния к тому или другому циклу длины N1,N2,N3... ; N1+N2+N3...=2^n (как увидим дальше, у них разные "энергии", которые зависят от Nk)

Поскольку U^N=U, то оператор эволюции U - унитарен.


3. Инвариант эволюции ("энeргетический базис")

Здесь у вас "сломались мозги" так что постараюсь быть нагляднее.

Пусть конкретный оператор U, начиная с состоянием X0, при последовательном приложении, порождает конкретный цикл длиной N:
Х0, Х1,... ХN=Х1, Х2.....

Вспомним, что у нас X0,.... XN,.....X[2^n] - это единичные, базисные, оргогональные (ортонормированные) векторы некоего "пространства" состояний (обяснено в 1). В численной записи Х, у них "все координаты 0", а именно одна обязательно - 1.
Оператор эволюции U - просто перекидывает одни орты в другие; при последовательного приложения U, "вектор состояния" пробегает орты в порядке, определенном U.

В случае циклов длин N меньше максимального 2^N - мы рассматриваем замкнутое подпространство (подмножества орт) которые U перекидывает друг в друга циклично (другие орты образуют другие циклы, это те "спектры циклов" которые отметили выше; - это такие замкнутые подмножества орт, которые U всегда перекидывает на орты внутри их же подмножества. Конечно может, что U такой что пробегает все орты - нет цикла меньшего 2^n и соответно спектр состоит из одного цикла, охватывающего всех орт в каком-нибудь порядке).

Теперь, мы ищем такую "вещь", которая будет являеться инвариантом на длине всего конкретного цикла, и дальше по мере его повторения.
Это не "исскусственное расширение" - ведь спрашивая про "сохраняющихся величин" - вы сами искали что-то этого типа.
Оно также, может возникнуть совершенно естественно на макроуровне, если например, мы по какой-нибудь причине не можем отличить "где находимся в цикле" (очень мал в реальном времени, и/или начался в неизвестном наперед моменте времени) - но "ощущаем единность объекта", и хотим его характиризировать каким-нибудь инвариантом, по его эволюционном пути.

Поскольку U - линейный унитарный оператор в пространстве состояний орт X, естественно искать инвариантов такого "циклического движения" среди собственных векторов оператора U - т.е. такие векторы, которые он не меняет, независимо сколько раз его прилагать.
Очевидно, такими векторами сами орты быть не могут (кроме тривиальных случаев когда U оператор идентичности и оставляет состояние на месте).
Поэтому, нам придется расширить пространство Х (пока-то оно у нас состояло "только из орт" - т.е. как бы не было пространством в обычном смысле) с какими нибудь векторами, "торчащих наискось" оригинальных орт, а именно "собственными векторами" движения эволюции.
На самом деле будем считать, что Х - самое обычное, "полное" линейное пространство.
При этом - в B-интерпретации (или если хотите, визуально в автомате) - у нас есть прямое соответствие только на базисных в-ров X0... Xn.
Можно считать все другие векторы кроме орт в линейном пространстве X - абстрактными вещами - которые однако полезны, поскольку через них можно дефинировать инвариант эволюции - и они могут возникнуть "эмерджентно" в наших попытках ввести описания на макроуровне, если микроуровень напрямую "не виден".

Как находятся инварианты... это обычная математика но приведем все же примеры для иллюстрации. Можно попытаться визуализировать это в "обычном пространстве" - только вообще это сложно, так как даже уже в двубитного случая - у нас в общем случае, пространство четырехмерно.

Для однобитного случая - пространство двухмерно (в X-записи орты {0,1} {1,0}, нумерирующие состояния eдинственного бита 0 или 1 в B-записи).
Из четырех возможных "алгоритмов эволюции" /смотри 1), U-запись для однобитного/:
- второй: оставляет орты на месте, это линейное преобразование идентичности I , в матричной записи: матрица U диагональна {1,0 | 0,1 } (разделяю строки через | }.
- первый и четвертый - схлопывают обе базисных на одного из них - не обратимы
- единственный интересный и обратимый - это третий, который меняет орты местами. Его собственные величины находим из характ. уравнения U - lambda*I = 0
или, приравнивая детерминант U - lamda*I = {-lambda,1 | 1,-lambda } к нулю, получаем у-е lambda^2=1, откуда находим собственные величины и примерные собственные векторы с точности до пропорциональности: lambda =+-1, {1, 1}, {1, -1}
Итого, для третьего правила однобитного случая, получили два "инвариантные вектора" эволюции, выражающиеся в базис ортов X0, X1 как:
E1 = X0 + X1
E2 = X0 - X1
Что действие U на Е их не меняет, теперь можно проверить и непосредственно в явном виде:
U*E1 = U*(X0+X1) = U*X0 + U*X1 = X1 + X0 = E1
U*E2 = U*(X0-X1) = U*X0 - U*X1 = X1 - X0 = - E2
(во втором случае поменялся знак из-за того что lambda=-1, но это не важно, потому что собственные векторы обязаны сохранять только направление)
Это простая линейная алгебра. И именно тот пример, который вы цитировали.
Но на этот раз, мы обошлись малой кровью (комплексные коеффициенты не получаются). Визуально, такой оператор эволюици "замены местами" - отображение симметрии в двухмерном пространстве относно оси у=x, eстественно сохраняющее как саму эту ось, так и его ортогональное.

Остановимся на момент и отметим, что у нас получились как бы две сохраняющиеся (до знака) величины - которые не скаляры, а векторы. Мы вроде "переизполнили план".
Однако им будет соответствовать однако один и тот же скаляр "энергии" Е, так что не надо беспокоится. А еще и так получается что-то КМ-подобное :)

Перейдем к трехмерного случая - который все еще "визуализируем", но там возникнет кое-что новое.
Трехмерный случай может возникнуть например, в оператора эволюции для двухбитного состояния. Хотя там пространство четырехмерно (в X-представлении - это четыре орты базисных векторов с единичке в соответного разряда, соответсвующих конфигураций 00,01,10,11 для B представления) - но выберем например оператор U который одну из орт оставляет на месте, а циклит остальные три меняя их местами:
X1 -> X2 -> X3 = X1 -> X2 -> X3...
X0 -> X0 -> X0....
Тогда первый цикл будет "трехмерен".
Оператор U будет иметь примерно вида:
0 1 0 0
0 0 1 0
1 0 0 0
0 0 0 1
Тут первое новое - осознать, что даже если и оператор U не имеет такого вида - мы можем просто орты Х "переименовать" и привести его в таком же виде, не меняя суть которую оператор описывает :) Так же, не имеет значение в каком порядке обходится 3-цикл - как указан выше, или например
X1 -> X3 -> X2 -> X1 ...
Так что этот примерный вид матрицы, не вводит какие-то дополнительные ограничения. Важно только то, на какой "спектр циклов" разбивается домен состояний; внутри циклов можем переставлять номера ортов.
Итак, для трехмерного случая начинающегося с некоторым из состояниям X1,X2,X3, мы будем иметь 3-шаговый цикл. Для него важна только подчасть U 3x3 которая их переводит друг в друга, первая строка только будет переводить идентично - "спектр вырожден".
Для B-интерпретации, это значит что в зависимости от исходного состояния, этот оператор будет генерить2 разных цикла, например 00->00->00..; 01->10->11->01... Отметим опять, что для свойств которые рассматриваем, какие именно эти состояния - неважно; например они могут быть и 10->10->... ; 00->01->11->00....  (все это устраняется переименованием которое на сути не влияет).
Линейный подоператор U 3x3, который будет генерить 3-шагового цикла:
 0 1 0
 0 0 1
 1 0 0
и его 3 собственные величины и векторы находятся соответно:
lambda^3 = 1, lambda = 1, exp(2/3*pi*i), exp(4/3*pi*i)
таким образом, инвариантные базисные векторы:
Е1 = X1 + X2 + X3
E2 = X1 + exp(2/3pi*i)*X2 + exp(4/3*pi*i)*X3
E2 = X1 + exp(4/3pi*i)*X2 + exp(8/3*pi*i)*X3
Они опять все ортогональны (это не случайно)

Вылезли комплексные коеффициенты :) Не надо пугаться - в пространств размерности выше 2, это всегда получается, если нужно найти всех инвариантных векторов (поскольку характеристичное у-е вида lambda^k=1 имеет в общем случае, k комплексных корней).
Итого, мы обязаны еще раз расширить пространство где рассматриваем инварианты - на этот раз в комплексной области (наше оригинальное пространство состояний Хk - "только" его реальное подпространство).

Теперь можно записать сразу все четыре инвариантных вектора полного оператора U (соображая что полный оператор оставляет X0 на месте, т.е. он совпадает со своим инвариантом):

Для 3-цикла (возникающий при входов X1,X2,X3)
Е1 = X1 + X2 + X3
E2 = X1 + exp(2/3pi*i)*X2 + exp(4/3*pi*i)*X3
E3 = X1 + exp(4/3pi*i)*X2 + exp(8/3*pi*i)*X3

Для "цикла" повторения (возникающий при входa X0)
Е0 = X0

Е0 конечно, опять взаимноортогонален остальными (это видно из-за того, что X0 ортогонален подпространству Х1,Х2,X3, "в котором" находятся остальные 3 инварианты Е1, Е2, Е3)

Но, важно отметить что E0 - относится (и является инвариантом) только тривиального "цикла" X0 -> X0 -> X0.... который оставляет орт X0 в себе (если на вход U подано состояние  X0).
Наоборот, все три Е1, Е2 и Е3 "идут вместе" (они относятся к 3-цикла равнопоставленным образом), и все они являются инвариантами длинного цикла X1 -> X2 -> X3 = X1 -> X2 -> X3... (если на вход U подано некоторое из состояний  X1,Х2,Х3).
Данный автомат как бы расщепляется на двух двухбитных автоматов - U1 который "понимает только состояние Х0" и его копирует бесконечно, и U2 который "понимает на вход" X1,Х2,Х3, и пермутирует их в тришаговый цикл.

Марголус расписал общую формулу для N инвариантных векторов, которые получаются для N-шагового цикла:

En = 1/sqrt(N)*SUM [m=0,N-1] {exp(2*pi*i*n*m/N) * Xm }
(они нормированы коеффициентом 1/sqrt(N) что мы пока не делали, покажем почему дальше)

Можно напрямиком убедиться расписывая правую часть, что прилагая U к Еn, получим опять En, помноженный на некий коеффициент (чей модуль = 1):
U*En = ..... .= exp(-2*pi*i*n/N)*En
Тоесть эволюция оставляет инварианты Еn на месте (в смысле "направления вектора"), только "сдвигая их комплексную фазу".

Подведем промежуточные итоги.
Итак, мы частично добились своей целью - нашли величины, которые эволюция оставляет инвариантными (за учетом "фазового сдвига") для конкретного цикла. Правда - они векторы; и не одна, а целых N (столько, сколько и сами циклящие состояния в данного цикла), и еще непонятно как из них извлечь какой-то скаляр (типа энергии).
Зато должно быть более-менее наглядное представление, как это происходит.
Мы приводим в соответствие каждому состоянию из циклов, некий "орт - базисный вектор" в  2^N мерном пространстве. Оператор эволюции U, приложенный к этих ортов, просто пермутирует их друг в друга. Инвариантные векторы Е - находятся "наискось" наших (они все ортогональны, для этого пришлось расширить исходное пространство в комплексной области). Вращая сами орты Xn, U оставляет En на месте (только помножает на комплексную фазу). Также можно как-нибудь попытаться представить, что U - "вращает все векторы в пространстве на комплексный угол вокруг всех En осей" - и величина этого угла определяет ту часть цикла которая пройдена.
Этим En инвариантным относно конкретного цикла, будет и приписан некий "инвариантный скаляр" (который относится к конкретним циклом). Заодно покажем и как он извлекается из векторов En

P.S. Продолжение следует ; )

[dzver]

Муха_ - продолжение

4. Статистический ансамбль компов. Интерпретация квадраты модуля коеффициентов перед Е как вероятностей

В последнем примере, мы рассматривали двухбитный автомат U (работающий в 4-мерном пространстве ортогональных состояний), который "вырожден", т.е. в зависимости от начального состояния он порождает два разных цикла:
X1 -> X2 -> X3 = X1 -> X2 -> X3...
X0 -> X0 -> X0....
Эти два разных цикла, порождают два разных инвариантных "базиса" во взаимно ортогональных подпространств, распишем их опять:

Для 3-цикла (возникающий при входов X1,X2,X3)
Е1 = X1 + X2 + X3
E2 = X1 + exp(2/3pi*i)*X2 + exp(4/3*pi*i)*X3
E3 = X1 + exp(4/3pi*i)*X2 + exp(8/3*pi*i)*X3

Для "цикла" повторения (возникающий при входa X0)
Е0 = X0

Теперь попытаемся расписать вектор, который является временным инвариантом для "всего автомата" Eтот, независимо от того что подано на входе и какой цикл возникнет. Такой инвариант должен выражаться неким образом, как некоторую линейную комбинацию по всех ортогональных состояний X0, X1, X2, X3:
Eтот = {}*X0 + {}X1 +{}*X2 + {}*X3
(тут {} некие коеффициенты разложения),

и поскольку группа инвариантных векторов всех возможных циклов Е0,Е1,Е2,Е3 также образует ортогональный базис, Етот также можно разложить по нем:

Eтот = a0*E0 + a1*E1 +a2*E2 + a3*E3
(ak - некие коеффициенты)
Сумма последних три членов можно представить как один вектор Еz который связан с трехшагового цикла:

Eтот = a0*E0 + az*Ez

Теперь заметим еще, что единственный метод извлечения "числа" из вектора состоит в манипуляцией его коеффициентами разложения в базисе. При этом, они должны входить в вычисления того скаляра каким-нибудь симметричным образом (потому что орты в каждом цикле, равноценны).
Eсли брать как метода "извлечения скаляра из вектора" обычного модуля вектора, то скаляр этого модуля для Етот буден связан со скаляров Ek образом:

(zzz) |Етот| = a0^2*|E0| + az^2*|Ez|

Обозначим квадрат модуля Еz как А=|Ez|, и для инварианта E0 как B=|E0|. (А, B - скаляры)

Тогда (zzz) можно переписать следующим образом:
|Етот| = a0^2*B + az^2*|Ez|
или
(zzz2) |Етот| = a0^2*B + az^2*A

Теперь рассмотрим что будет, если на вход автомата подается некоторая статистически устойчивая, выборка состояний.

Если нам дано некоторое статистическое распределение начального состояния на входов, после как "запустим эволюцию", с соответной вероятностью мы будем натыкаться либо на инвариантное число А, либо на инвариантное число В.

Так например, если с вероятностью 0.3 на входе подается состояние X0, а с вероятностью 0.7 подается какое-либо из состояний цикла X1,X2,X3, то после "запуска" мы с вероятностью 0.3 обнаружим "цикл" X0, и с вероятностью 0.7 обнаружим цикл X1 -> X2 -> X3...
Соответно, с вероятностью 0.3 мы обнаружим величину B, соответствующее инвариантного в-ра Е0, и с вероятностью 0.7 обнаружим число А, соответствующее инвариантных векторов Е1,Е2,Е3.

Тогда в статистическом смысле, инвариантное число всего автомата приписываемое вектором Етот (обозначим его как С), должно быть сумма инвариантных чисел А и В, с соответных вероятностных весов:
С = 0.3*A + 0.7*B
Это число, будет /статистическим/ инвариантом U, если на вход подаются состояния с соответных вероятностей, и будет статистически устойчиво на время такой "эволюции из неизвестного, но статистически определенного входа" для U.

Сравнивая полученное выражение с (zzz2), видим, что должно быть
a0^2 = 0.3
az^2 = 0.7

Таким образом, коеффициенты в разложении Етот через представителей Ек для разщепленных циклов, должны быть пропорциональными квадратного корня из вероятностей.

Замечание: тут имеется некий произвол - почему брать именно сам модуль вектора, а не какая-то другая симметричная комбинация из коеффициентов (или, другой дефиниции "модуля вектора" чем обычной). Мне это не совсем понятно.
Марголус как бы считает, что это "не имеет значения" поскольку циклы всегда раздельны (и никогда не перемешиваются), т.е. реально "сумму" в векторного выражения для Етот выше мы никогда не производим - и просто коеффициенты "можно брать" и как квадратных корней, что имеет место в КМ.

Как бы оно не было, квадрат модуля как бонус избавляет нас из комплексных значений коеффициентов- так как модули всегда реальное число - как и вероятности которые они должны обозначивать.

Рассуждение выше, можно провести и наоборот.
Представим статистический ансамбль из двух типов никак не несвязанных, физических раздельных компов, первый тип запрограммирован оператором U1 действует с 3 бита памяти (и на его вход подаются понятные ему состояния X1,X2,..X8), а второй тип запрограммирован оператором U2 с 2 бита памяти (и на его вход подаются понятные ему состояния Y1,Y2..Y4).
Пусть к-во компов первого видa 2, второго вида 3.
Пусть для простоты, их операторы эволюции не расщепляются, т.е. комп первого вида U1 всегда приводит к полном 8-цикле по всех состояний над котором он действует, а второго вида U2 всегда приводит к полном 4-цикле по всех состояний над которым он действует.
Если ткнем наугад в какой-либо из этих 5 автоматов (2 первого типа и 3 второго), шанс попасть в комп первого типа 2/3 (и попадем на группу временных инвариантов EX1,EX2,... EX8 eго исчисления); во второго соответно 1/3 (тот же и шанс наткнутся на группу инвариантов ЕY... EY4 для U2).

Разница с прежнего случая только формальна: в прежнем случаем мы имели один автомат и некоторое вероятностное распределение входа (из-за чего он может попасть в разных циклов); а здесь имеем вероятностное распределение автоматов, но циклы и состояния над которыми они работают определены.

Теперь заметим, что весь этот комплекс несвязанных компов можно рассматривать как единственный композитный комп Т, работающей над общей памятью. Пространство его ортогональных состояний 2^12-мерно, оно является произведением пространств отдельных компов  = {2^3*2^3}*{2^2*2^2*2^2} соответно первого и второго типа.
Согласно прежних рассуждений, его инвариантный вектор энергии можно линейно разложить на базис инвариантных векторов отдельных компов. Записав вектора энергии для Т через базис инвариантных векторов U1 и U2 (входящие соответное количество раз), и зная, что средняя энергия такого ансамбля должна выражаться как взвешенная с соответными весами сумма средних энергий отдельных компов, сравнивая коеффициенты мы снова придем к тому, что в векторном разложении коеффициенты должны быть пропорциональными квадратными корнями из веса участия отдельных компов.

5. Интерпретация и выражения для подсчета величин. Релятивисткий аргумент.

Когда рассматривали либо оператор "расщепляющийся" на разных циклов в зависимости от входного состояния, либо композитных компов - мы, хотя и нашли как выражать энергию ансамблевой системе через суммарного вектора разщепленных (напр. Eтот = a0*E0 + az*Ez выше), но не написали все же как исчисляется энергия конкретного N-шагового цикла, на базе его N инвариантных (с точности до множителя фазы) векторов (собственных векторов оператора эволюции цикла U).
Из фурье-подобной формуле общего вида
En = 1/sqrt(N)*SUM [m=0,N-1] {exp(2*pi*i*n*m/N) * Xm }
следует, что каждое En "несет" разную частоту
vn = v*n/(N)  (v - частота, 1/tau где tau - время за которое U делает 1 сдвиг ),
и каждой из частотных мод "приписывается" количество энергии
Еn = h*vn  (h - "константа планка")
Так как квадрат модулей коеффициентов одинаков, то все энергии входят с одинаковым весом (существует и обратное фурье-преобразование Xn через En аналогичного вида где в этом можно убедиться), то энергии разных мод:
0, hv/N, 2hv/N, 3hv/N ....... h(N-1)v/N
и для большого цикла (большое N) их сумма равна
Е=hv/2
Т.е. (отвлекаясь от коеффициентов), средняя энергия N-цикла, пропорциональна его частоты.

В этой интерпретации, энергия имеет смысла "количество перейденных состояний в секунду" (state changes per second).

Релятивисткий аргумент Марголуса

Казалось бы, все что нужно тогда чтобы определить энергию, это подсчитать состояний цикла - чем чаще они меняются, тем выше энергия.
Это верно для абстрактных компов которые рассматривались - и где состояния в цикле можно переименовать, и не важно как они реализируются.
Например, в побитной записи, я выше писал что все равно реализируется ли двухбитный двухшаговый цикл 00->01->00->01, или двухшаговый цикл из 4 битов - 1111 ->0000->1111->0000..., так как это одно и то же с точности до переобозначения - двухшаговый цикл и все.

Однако, когда информация распределена также и в пространстве - как в клеточных автоматов, это уже не так.
Если в одной системе отсчета одновременно меняются блоки двухшагового цикла 1111-0000-1111..., то наблюдая того же объекта из другой системе отсчета, из-за относительности одновременности, первые два шага того же цикла будут выглядеть напимер 1111 -> 1110 -> 1100 -> 1000 -> 0000.
Состояния будут переходить одно в другое, "побитно".
Т.е. в новой системе отсчета, "скрытый информационный капацитет" будет проявляться, и тот же самый цикл будет иметь бОльшую энергию /так как пройдет через бОльше состояний за одно и то же время)
Поэтому Марголус определяет "полную энергию" как "максимальное к-во ортогональных состояний которое может быть пройдено за единицу времени", или "к-во переключенных битов на единицу времени".
(так как оно ограничено информационной емкости на единице пространства, то достаточно считывать все биты которые поменялись на единице времени)

Импульс определяется аналогично, как "количество ортогональных состояний измененных на единицы длины".

Т.е. как я понимаю, этот (побитный) подсчет - дает энергию сразу в релятивистком смысле ("полную энергию").

Из этого следуют интересные аналогии.
Например, принцип неопределенности
deltaE*deltaT>=const
выглядит тривиальным, так как размерность выражения в левой части - "бит", которое не может быть меньше одного бита (хотя и есть же интерпретации информации меньше бита но не будем об этом)
То же самое и для связи deltaP*deltaX >=const

Еще, в статье приведен пример из которой показывается что время  процессов будет выглядеть замедлено из движущейся системе отсчета (относно решетки) и выполняется формула
Е't' = Et - px

Из этого можно предположить, что должны быть СТО-подобные следствия (скорее всего - что то похожее на теории Обухова-Захарченко, или тот же Che - так как все же есть выделенная система отсчета хотя по идее ее трудно обнаружить).

Наконец, стоит сказать про основный "изъян" этого подхода что фундаментально отличает его от квантовой механики.
Коеффициенты жестко пригвоздены к векторам состояний, и не могут "перетекать" между ними.
Например, состояние "частицы" (эволюционного процесса)
|X1> = a|X1> + b|X2>
не может перейти в результате эволюции, к состоянию например
|X2> = b|X1> + a|X2>


Все выше, моя интерпретация на базе статьи Марголуса, возможны ошибки! (некоторые вещи - как например "спектр циклов" однако там не упоминаются) : )

[dzver]

Я это свойство автомата понимаю, но не могу формализовать. Чего-то не хватает. По-моему в теории информации просто еще нет определения тому, что сохраняется в обратимом автомате. Если бы это определение удалось сформулировать, думаю, это позволило бы по новому интерпретировать понятие энергии.

Как по моему, практически подсчитывать энергию и импульс в автомате /или его области/ :

E(t)= Sum[x=0,L-1] { b(x,t) xor b(x,t-1) }/2
или энергия в момент t, равна половину количества битов менящие свои значения с прежнего шага

P(t) = Sum[x=0,L-1] { b(x-1,t) xor b(x,t-1)  - b(x+1,t) xor b(x,t-1) }/2
или импульс в момент t, равен половину разницы количества битов "диагонально" менящие свои значения с прежнего шага в одной стороне, с количества битов "диагонально" менящие свои значения с прежнего шага в другой стороне (у него есть направление)
b(x,t) - состояние бита в развития клеточного автомата.

Следует учесть что сохранение величин ожидается статистическое (и автомат конечно должен быть обратимым). Т.е. если усреднены на интервале времени, малое относно периодов "циклов" происходящих в системе, величины могут флуктуировать.
(тривиально видно однако, что они точно аддитивные, для пространственных областей)

Особенно интересно подсчитать как они (и некие их средние), меняются при эволюции двух сталкивающихся, взаимодействующих, и потом распадающихся полос, для автомата 37R
Чтобы так сказать, проверить теорию практически :)

[dzver]

....В термодинамике имеется закон именно в такой формулировке: энтропия замкнутой системы не убывает (или в эквивалентной). Закон используется во многих математических выводах. Там нет никаких оговорок или разрешений считать, что это чисто статистическое следствие, связанное с редкостью соответствующих событий. И именно в такой формулировке этот закон закон невозможно вывести только из обратимых теорий. Это и есть тот конкретный аргумент.
     Так что тут два варианта: согласиться с этим или изменить формулировку закона на предлагаемую и полностью переписать всю термодинамику. Кто это будет делать?
      Цитата dzver: "Так значит, для идеального газа все-таки вы согласны...? Или нет?"
     С чем? Закон возрастания (неубывания) для него тоже невыводим. Я имел в виду изложенное в предыдущем абзаце этого сообщения.

Мы впали в цикл... Попробуем выйти.
Пусть дан замкнутый ящик с разреженным газом внутри, в термодинамическим равновесием.
Скажите:
а) Считаете ли вы, что существует отличная от нуля вероятность, чтобы все молекулы оказались в одной половине ящика?
б) Если ответ на а) да - то еще вопрос - если это событие произошло, уменьшилась ли по вашему энтропия газа, или осталась та же самая?