Гравитационные волны

[Geen]

Нет. Есть точные решения исходных уравнений. Список (примерный и очень краткий) я приводил.

Можно добавить книгу
Точные решения уравнений Эйнштейна. Под ред. Э. Шмутцера М.: Энергоиздат, 1982. - 416с.
Даже Википедия про нее упоминает.

В таком случае, приведите общее решение для всей системы уравнений, состоящей из 16 штук. Это общее уравнение должно подходить для любого из уравнений системы и объяснять физическую суть ОТО.

В следующий раз этот идиотский вопрос будет расцениваться как троллинг.

[Geen]

Обсуждение "смысла уравнений" не относится к теме.
Что бы "закрыть" вопрос - вот решение вакуумных уравнений Э с нулевым лямбда-членом: \(ds^2=dt^2-dx^2-dy^2-dz^2\). Остальные решения ищите в упомянутой книге.

[ulitkanasklone]

Близкодействие не обязательно описывается уравнениями волнового типа. Я читал о теориях гравитации, обобщающих ОТО (с добавками в лагранжиан что-то типа RikRik или R4 - точно не помню), в которых гравитационных волн быть не может.

Я вот в этой теме пытался раскрыть структуру Риччи и как он переходит в гармонических в оператор Даламбера:
Структура тензора Риччи

Еще раз распишу чуть позже. Там видно , что в слабых полях при определенной асимптотике главный линейный член переходит в волновое уравнение. Добавки , о которых вы пишете , сидят в нелинейной части Риччи.

[ulitkanasklone]

Geen, на самом деле вопросы о типе уравнений Эйнштейна в разных координатных системах, об ограничении данных Коши и корректной постановки, об эквивалентности точных уравнений и линеаризованных представляют собой интерес и требуют обсуждения. Я там многое не понимаю, но и в специализированной литературе есть разные точки зрения на эти вопросы. Если бы vladimirph привел конкретные примеры было бы интересно и я бы не стал так резко реагировать.

[Geen]

об эквивалентности точных уравнений и линеаризованных

Не очень понимаю что тут имеется ввиду...?

[Geen]

Оффтоп удалён.

[ulitkanasklone]

об эквивалентности точных уравнений и линеаризованных

Не очень понимаю что тут имеется ввиду...?

Ну есть такие статьи , где утверждается, что эти системы уравнений относятся к разному типу и могут иметь разные решения, которые не совпадают в слабых полях , то есть точные уравнения не переходят к линеаризованным (не всегда), но я еще разбираюсь с этим вопросом.

[ulitkanasklone]

об эквивалентности точных уравнений и линеаризованных

Не очень понимаю что тут имеется ввиду...?

Поясню подробнее.
Как удалось выяснить Фоку (53.15) ("Теория пространства времени тяготения, стр. 260 и стр. 535 (Г.34))  однородные уравнения Гильберта-Эйнштейна \( R_{ik}=0 \) в гармонической системе координат
\( g^{il}\Gamma^p_{il}=0 \)
Сводятся к такому виду:
\[ R^{km}=(-1/2)g^{il}\frac{\partial^2{g^{km}}}{\partial{x^{i}}\partial{x^{l}}} +     g^{jk}g^{qm}g_{np}g^{il}\Gamma^n_{jl}\Gamma^p_{iq}\quad(1a) \]
\[  g^{il}\Gamma^p_{il}=0 \quad(2a) \]

Ковариантные компоненты получаются опусканием двух индексов с помощью точной метрики.
Мне правда сходу не удалось свести линейную часть к виду , когда остается один оператор Даламбера. А именно в этом выражении  линейной части:
\[ R_{km}^{(L)}=g^{il}\frac{1}{2}(\frac{\partial^2{g_{im}}}{\partial{x^{k}}\partial{x^{l}}}+\frac{\partial^2{g_{kl}}}{\partial{x^{i}}\partial{x^{m}}}-\frac{\partial^2{g_{il}}}{\partial{x^{k}}\partial{x^{m}}}-\frac{\partial^2{g_{km}}}{\partial{x^{i}}\partial{x^{l}}}) \]

Три последних члена зануляется в системе гармонических координат. Может VladTk или кто-то еще пояснит как это получается, просто у Фока очень сложное объяснение.

Далее обычно утверждается, что нелинейный член в (1a) мы отбрасываем в асимптотически-плоских решениях и в таком приближении:
\[ g^{ik}{\approx}-h^{ik}+\eta^{ik} \]
И все сводится к линеаризованной системе уравнений (Ландау-Лифшиц, пар 105, стр. 443 ( в моем издании), (105.11)-105.14)):

\[ \square{h_{km}}={\eta}^{il}(\frac{\partial^2{h_{km}}}{\partial{x^{i}}\partial{x^{l}}})=0 \quad(3a) \]
c  новыми координатными условиями ("приближенно-гармоническими") (105.10, ЛЛ-2):
\[ \frac{\partial}{\partial{x^{k}}} (h_{i}^{k}-1/2\delta_{i}^{k}h_j^j)=0 \quad(4a) \]
(3a) - волновое уравнение, которое в данной асимптотике и приближении определяет плоскую слабую волну.

"Есть мнение", что совокупность решений (1a), (2a) не всегда переходит в  слабых полях  к решениям (3a), (4a),
 хотя бы потому , что системы дифференциальных уравнений относятся  к разным типам. (3a) - фактически гиперболические, в то время как точные уравнения (1a), (2a) - не строго гиперболические.
Уже видно, что мы не можем задать произвольно начальные данные в данной системе координат :
Если зафиксировать на поверхности \( \Sigma \)  начальные данные, они не должны противоречить условиям:
\[  g^{il}\Gamma^p_{il}|_{\Sigma}=0 \quad(5a) \]
Это значит , что часть решений не рассматривается и необходима другая система координат - не гармоническая, которая не перейдет в точности к волновому уравнению.

[Geen]

"Есть мнение", что совокупность решений (1a), (2a) не совпадает с решениями в слабых полях с (3a), (4a),

В каком смысле? Уточните, пожалуйста.

Это значит , что часть решений не рассматривается

Вообще говоря нет - нас же не интересуют решения получаемые заменой координат из других.

Кстати, (3а) у Вас как-то странно записано.... (самая левая часть)

[ulitkanasklone]

"Есть мнение", что совокупность решений (1a), (2a) не совпадает с решениями в слабых полях с (3a), (4a),

В каком смысле? Уточните, пожалуйста.

Подправил - не всегда переходят к решениям  волнового уравнения в слабых полях.

Это значит , что часть решений не рассматривается

Вообще говоря нет - нас же не интересуют решения получаемые заменой координат из других.

Кстати, (3а) у Вас как-то странно записано.... (самая левая часть)

Я исправил g на h . А оператор Даламбера я так записал , я не нашел "квадратик" в Латехе.

При переходе к другим координатам меняется поверхность Коши и данные на ней. Данные не должны противоречить координатным условиям. Но это тонкие места , которые требуют проработки.

[ulitkanasklone]

Продолжу тонкие места, которые остались непонятны в формализме слабых полей и слабых гравитационных волн.
Итак, в параграфе 107 ЛЛ-2, им удалось найти плоскую слабую волну в таком виде:
\[ ds^2=dt^2-dx^2-(1-a)dy^2-(1+a)dz^2+2bdydz \quad(6a) \]

Заменил
\[ h_{22}=-h_{33}=a(t-x), \quad h_{23}=h_{32}=b(t-x), \quad c=1 \]
Определитель :
\[ g=a^2+b^2-1 \]

Теперь возьмем псевдотензор из пар 96 , только без приближения в слабом поле , а точный ( у меня выписан здесь):
Справочник по формулам   (4.5):
\[ \frac{16{\pi}G}{c^4}(-g)t^{ik}=\frac{\partial}{\partial { x^{l}}}\frac{\partial}{\partial { x^{m}}}[(-g)(g^{ik}g^{lm}-g^{il}g^{km})] \]

В данной метрике ( можно сказать в синхронных координатах) (6a) выражение компоненты \( t^{01} \) псевдотензора сводится к :
\[ 16{\pi}G(-g)t^{01}=\frac{{\partial}^2}{\partial{t^2}}(g)\quad (6a_1) \]


Тогда мы получим для слабой волны (6a):
\[ 16{\pi}G(-g)t^{01}=2(\dot{b}^2+\dot{a}^2+a\ddot{a}+2b\ddot{b}) \quad(7a)  \]

что вообще говоря сильно отличается от приближенного уравнения (107.12) из Ландау-Лифшица. Даже если удалить вторые производные, то значение компоненты отличается в 2 раза . (\( g\approx{-1} \) )
\[ 16{\pi}Gt^{01}=(\dot{b}^2+\dot{a}^2) \quad(107.12)  \]
Если же внимательно посмотреть на (7a) , то компонента плотности потока энергии знакопеременна. Ее можно привести к виду:
 \[ 16{\pi}G(-g)t^{01}=\frac{\partial}{\partial{t}}(b\dot{b}+a\dot{a}) \quad(8a)  \]
Если рассмотреть периодическую функцию для \( a, b \)  , типа \( D\sin(w(t-x)+\phi) \) то усреднение по времени \( t \)  даст ноль.
То есть в ЛЛ-2 есть существенный недостаток в переходе к первому приближению для псевдотензора и формула (107.12) ,
которой пользовались Ландау и Эйнштейн (немного в другом выражении), и требуют более внимательного отношения.
Энергия гравитационной волны в таком формализме равна нулю.

[Geen]

Заменил

Это неправильная замена - у перекрёстных членов в метрике надо двойку писать.

у меня выписан здесь

А из какой формулы в ЛЛ это выписано?

выражение компоненты t01t01 псевдотензора сводится к

Видимо туплю, но не вижу...

Ее можно привести к виду

А двойка?.....

[ulitkanasklone]

Это неправильная замена - у перекрёстных членов в метрике надо двойку писать.

Это опечатка, исправил, но я вычисления делал , исходя из матричной формы для метрики:
\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\cr 0 & -1 & 0 & 0\cr 0 & 0 & -a-1 & b\cr 0 & 0 & b & a-1\end{pmatrix}
Вроде дальнейшее правильно.

А из какой формулы в ЛЛ это выписано?

Ее мне подсказал VladTk давно. Чтобы не пользоваться "дикобразом" (96.8.), можно использовать упрощенную формулу для псевдотензора. Нужно взять (96.3) и 2 раза продифференцировать по координатам с индексами \( l,m \). Затем смотрим (96.7) : там в вакууме удаляются истинный тензор Риччи и скалярная кривизна. Получаем как раз (4.5)

Видимо туплю, но не вижу...

Давайте распишем:

\[ 16{\pi}G(-g)t^{01}=\frac{\partial}{\partial { x^{l}}}\frac{\partial}{\partial { x^{m}}}[(-g)(g^{01}g^{lm}-g^{0l}g^{1m})]  \]
Перекрестных нет, \( g^{01}=0 \) , первый член пропадает. Остается:
\[ 16{\pi}G(-g)t^{01}=\frac{\partial}{\partial { x^{l}}}\frac{\partial}{\partial { x^{m}}}[(g)(g^{0l}g^{1m})]  \]
Из всех \( l,m=0,1 \) остаются только \( l=0,m=1 \) :
\[ 16{\pi}G(-g)t^{01}=\frac{\partial}{\partial { x^{0}}}\frac{\partial}{\partial { x^{1}}}[(g)(g^{00}g^{11})]  \]
\( g^{00}=1, g^{11}=-1 \);  частная производная по \( x \) от функций типа \( u(t-x) \)  это производная с другим знаком по \( t \) . Получаем:
\[ 16{\pi}G(-g)t^{01}=\frac{{\partial}^2}{\partial{t}^2}[g]  \]

А двойка?.....

Определитель g подсчитан правильно. Поэтому вычисления и рассуждения дальше верные.

[Geen]

только без приближения в слабом поле , а точный

Этот вид существенно использует что тензор Риччи равен нулю. Но в "слабой волне" он не равен нулю.

[Geen]

Энергия гравитационной волны в таком формализме равна нулю.

Вот у ЛЛ она как-раз не равна нулю.

[ulitkanasklone]

Этот вид существенно использует что тензор Риччи равен нулю. Но в "слабой волне" он не равен нулю.

Поясните. В каком месте у ЛЛ-2 в пар 107 используется данное предположение и каким образом они делают приближения для псевдотензора. Впрочем можно рассмотреть точные решения.

Вот у ЛЛ она как-раз не равна нулю.

Потому что у них ошибочное приближение. Надо учитывать вклад в псевдотензор членов второго порядка. Они и дают отрицательный вклад, который зануляет псевдотензор.

[Geen]

Поясните. В каком месте у ЛЛ-2 в пар 107 используется данное предположение

Оно используется не в ЛЛ, а у Вас в (4.5). И использование этой формулы для выбранной метрики вносит ошибку (какого именно порядка сходу не скажу).

[ulitkanasklone]

Поясните. В каком месте у ЛЛ-2 в пар 107 используется данное предположение

Оно используется не в ЛЛ, а у Вас в (4.5). И использование этой формулы для выбранной метрики вносит ошибку (какого именно порядка сходу не скажу).

Уже увидел одно отличие. Они выписывают 107.1-107.3 приближенные выражения:
\[ g_{ik}=h_{ik}+\eta_{ik} \]
\[ g^{ik}\approx-h^{ik}+\eta^{ik} \]
\[ g\approx\eta(1+h) \]
Где \( h=h_i^i=0 \) , то есть след, который равен нулю. Для галилеевых значений \( \eta=-1 \)

У меня же :
\[ g=-1+h_{22}h_{33}+h_{23}^2 \]
Отличие существенное, если рассматривать производные.


ПС. Когда Ландау пишет перед формулой (107.11), что в этом легко убедиться и ссылается на общую формулу 96.9,
это вызывает улыбку. Я конечно могу загнать (96.9) в матпакет, но даже в этом случае не буду уверен, что не сделаю
где-нибудь ошибку.

[Geen]

У меня же

"С точностью до величин первого порядка" эти выражения совпадают.

[ulitkanasklone]

Попробую на досуге засунуть в  программу псевдотензор (96.9) и посмотрю на приближенное решение.
А пока можно привести примеры с точными решениями.
1.Первое , что приходит в голову это Волны Бонди-Пирани-Робинсона.
\[ ds^2=dt^2-dx^2-Q(e^{2f}dy^2+e^{-2f}dz^2) \quad(8a) \]
\[ Q=Q(t-x), f=f(t-x) \]
Определитель
\[ g=-Q^2 \]
Теперь вполне можно пользоваться выражением (4.5) и в данном случае:
\[ 16{\pi}G(-g)t^{01}=\frac{{\partial}^2}{\partial{t}^2}[g]=-2\frac{\partial}{\partial{t}}(Q\dot{Q}) \quad(9a) \]
Если \( Q \)  периодическая функция, то поток энергии имеет знаконеопределеное значение. Усреднение по \( t \)  дает ноль.
\[ <t^{01}>=0 \]