За дифракционным пределом?

[GNM]

Я не считаю, что хорошо разбираюсь в этом вопросе. Но многие выдают слушком уж категоричные формулировки.

2. Пунткт 1 непременим к обычной фотографии,  для которой и созданы цифровые зеркальные камеры.

Почему? Из-за неизвестности расстояния до объекта? Это конечно проблема. Но если только это, то все же применим.

А как относится к тому, что все применяют методы, основанные на априорной информации, что границы должны быть резкими? И что цветного шума не должно быть. А вдруг этот шум был на исходном изображении?

[VD]

Я не считаю, что хорошо разбираюсь в этом вопросе. Но многие выдают слушком уж категоричные формулировки.

2. Пунткт 1 непременим к обычной фотографии,  для которой и созданы цифровые зеркальные камеры.

Почему? Из-за неизвестности расстояния до объекта? Это конечно проблема. Но если только это, то все же применим.

А как относится к тому, что все применяют методы, основанные на априорной информации, что границы должны быть резкими? И что цветного шума не должно быть. А вдруг этот шум был на исходном изображении?

  Там еще и разные фокусы объективов,  разные относительные отверстия,  разная сферическая аберрация объектива из-за разных расстояний до объектов  ну и зависимость шума от температуры  и куча других изменяющихся факторов.

[Stepa]

Уважаемый GNM!

Ваша задача имеет решение, в котором распределение интенсивностей дается функцией Эйри в квадрате, деленной на квадрат расстояния от центра изображения. I(x) ~= J^2(x) / x^2.

Если мы вспомним основной принцип волновой оптики, а именно принцип Гюйгенса в формулировке, что каждая точка волнового фронта может рассматриваться источником вторичных волн, то очевидно, что всякое изображение будет строится из суммы амплитуд точечных источников.


Пусть в плоскости мишени распределение амплитуд A = A(x,y). Параллельно мишени на расстоянии d установлен экран. На экране искомое распределение амплитуд E = E(p,q).

Тогда E(p,q) = int( A(x,y) exp (2*Pi*sqrt( (x - p)^2 + (y - q)^2 + d^2) / ( L) / ((x - p)^2 + (y - q)^2 + d^2), dx dy)

Т.е. E(p,q) = int( A(x,y) K(x - p, y - q), dx, dy)

Как оно получено, я думаю, понятно. A(x,y) dx dy - точечный источник. Штука с квадратами - это расстояние. L - длина волны. Поделив расстояние на длину волны, получаем пространственную фазу. ВременнАя фаза волны нас не интересует, так как E имеет смысл средней по времени.
Ядро K можно упрощать, получить соответственно режим Фраунгофера и режим Френеля.

У оптической системы есть похожая на K функция. Собственно она и называется ФРТ.
E(p,q) = int(A(x,y) F(x -p, y -q) dx dy) (2)
И проистекает она из принципа суперпозиции волн, который говорит, что комплексные амплитуды складываются. Но не интенсивности!
Теперь задача такова:

Имея I(p,q) = |E(p,q)|^2 и |A(x,y)|^2 (да даже A(x,y) !), найти F(u,v) .

Это уравнение типа свертки. Можно попробовать регуляризовать по Тихонову и действительно получить что-то (с преобразованием Фурье красиво получается).
Представим, что все мы это преодолели. Вытираем пот со лба - есть матрица коэффициентов F(u,v). Теперь мы умеем любое заданное распределение амплитуд пересчитать в изображение нашей оптической системы. Из этих коэффициентов довольно хитрым образом можно извлечь все абберации.
Но мы не хотим свои абберации измерять -  мы хотим восстанавливать изображение.
Т.е. A(x,y) = int(E(p,q) R(p - x , q - y)dp dq)
Вот тут и выясняется, что нашему обратному фильтру R(x,y) необходимы комплексные амплитуды E(p,q) , а не |E(p,q)|^2, и даже не тот суррогат, который мы подсунули, когда решали для F(u,v).
А взять нам неоткуда их - наш детектор чувствителен к |E(p,q)|^2.

P.S. int - интеграл (мерность по смыслу).

[Дрюша]

В Компюютерре месяца два назад по этому поводу статья была. Фишка вся в том, что образец облучают короткими лазерными импульсами... Ну, короче так, что каждый атом люминофора сверкает отдельными фотонами. яркость расчитывается так, чтобы обычно отдельные фотоны исходили от сравнитльно далёких атомов, которое разрешается обычными методами. И за одну вспышку каждый аом мог излучить не более чем один фотон. Но таких освещающих вспышек делаются десятки тысяч... А потом ведется крутой статистический анализ распрееления всех пойманных фотонов. К методам повышения резкости, применяемым в ширпотребовских цифромыльницах, это не имеет никакого значения. Я так понял, что из статистики распределеия, хоть фотоны ложатся в пределах некоторого пятна рассеяния (тот же дифракционный предел), но за счёт дополнительной информации (один атом - один фотон) удаётся отличить фотоны, исходящие от разных атомов, и выявить статискку распределения по каждому из них независимо. А зная 10 тыс. случаев, можно оценить такую величину как мат.ожидание (фактически центр пятна рассеяния) примерно в 100 раз точнее чем его размер. На этом и выезжают.

[GNM]

Уважаемый Stepa,

А как Вы себе представляете звездное небо? Большой холст с маленькими дырками, освещенный с противоположной от нас стороны нехилой лампой? Почему Вы считаете, что две волны, пришедшие с разных звезд когерентны? А если не когерентны, зачем нам фазы? Может интенсивностей достаточно?

Характерный размер когерентно излучающей области я не знаю. Но мне кажется, что телескопы не работают с такими размерами. И фотоаппараты, в большинстве случаев, тоже. Или я неправ?

Может кто-нибудь кинет ссылку на изображение тесной двойной звезды, так чтобы была видна дифракия? Попробуем ее проанализировать.

Как я представляю себе процесс получения изображения в телескопе? На объектив телескопа падают волновые пакеты (цуги волн или как там их еще называют?). Каждый волновой пакет сгенерирован некоторой небольшой областью объекта наблюдения. Достичь разрешения для рассматривания этих областей мы не пытаемся. Волновой пакет дифрагирует на входном отверстии объектива. Это приводит к дифракционному размытию. Далее складываются интенсивности (либо пакетов, пришедшеих из разных областей объекта, либо даже из одной области, но пришедших в разное время).

Вы дали правильный ответ лишь на широко известный частный случай моей задачи (A=0). В общем случае, сложность формул сопоставима с решением Вашей задачи. Надеюсь, Вы не расчитывали увидеть полное решение? Если расчитывали, то Вы садист.

VD
Я не говорю, что получить достоверную ФРТ просто. Я говорю, что это вринципе возможно. Вы же, как я понял, отвергаете такую возможность (если это не так, надо точнее формулировать свое мнение). Так объясните, почему? На сложность упирать бесполезно. Вон любой компьютер, если влезать в детали, жуть какой сложный. А ведь работает! А кстати, некоторые, продаваемые в обычных фотомагазинах объективы, стоят таких денег, что компьютеры, продаваемые в рядом стоящих магазинах нервно курят в сторонке.

[Владилен]

Вчера попробовал замылить - размылить искусственную тесную пару в Маткаде. При отсутствии шумов дифракционное пятно в 11 пикселей превращается в яркие точки без осложнений.
Есть ли действительно реальный снимок у кого?

[Stepa]

Размывали чем?

[Владилен]

I=(sin(x)/x)^2

[Михаил_Никитин]

yevogre: Поясняю мысль. Для того, чтобы получить разрешение, лучшее, чем следующее из критерия Релея для произвольного объектива, надо знать его функцию рассеяния точки в зависимости от ее координат с учетом как аберраций объектива, так и дифракции на его отверстии, плюс достоверно измерить с высокой точностью распределение освещенности по полю. Это выполняется - предел преодолеваем. Если предположить, что нам доступна произвольная точность измерений освещенности, то и диаметр объектива и его исправление перестают быть критическими параметрами. На практике дело затрудняется всевозможными шумами и артефактами, плюс цвет страдает даже в теории, но, IMHO, изображение после обработки будет содержать хоть ненамного, но больше деталей, чем до обработки.

Stepa: Так там действительно, когерентность отсутствует, то есть фаза волны, падающей с каждого направления - произвольная (и переменная) величина. Задача может быть решена не через амплитуды, а через интенсивности. Зная распределение освещенностей точек изображения, надо найти освещенности по направлениям на точки на входе в объектив. Здесь, IMHO, суммирование освещенностей допускается.   

GNM: Согласен.

Vladilen Ural: Риспект! Сажусь писать свой вариант. Напишу - выложу.

[GNM]

Дифракционное размытие точки не описывается формулой I=(sin(x)/x)^2. Лучше пользоваться формулой, приведенной Stepa. I=(2*J(x)/x)^2. Здесь J - функция Бесселя первого типа (рода) первого порядка.

На всякий случай, названия некоторых методов фильтрации при наличии шума: Винеровская фильтрация, фильрация по Тихонову. Применение обычных методов фильрации (без учета шума) в большинстве случаев хороших результатов не даст.

[bibliograf]

 Предположим, что мы наблюдаем некий точечный объект через бинокуляр, на одном из объективов которого
имеется аподизирующая маска, а на другом - нет. Соответственно, мы имеем две дифракционные картины
отличющиеся видом центрального максимума и дифракционных колец. Нельзя ли, сопоставляя два одновременно
полученных изображения, извлечь некую информацию о тонкой структуре наблюдаемого объекта? Для идеального
точечного объекта - очевидно, нет; но для протяженного объекта или, например, тесной двойной звезды - да!
Я не знаю, занимался ли кто-нибудь подобными опытами - но для простых точечных объектов алгоритм анализа
таких пар изображений должен быть не слишком сложным.
Технически реализовать этот метод нетрудно - пример с бинокуляром лишь для наглядности - мы можем поставить
светоделитель в телескопе системы Мерсенна и разделить поток света на два канала - либо, для объектов с
непрерывным спектром - выполнить аподизирующую маску в виде светофильтра и наблюдать в двух спектральных
областях - одно изображение будет аподизировано, второе - нет.

[Владилен]

Дифракционное размытие точки не описывается формулой I=(sin(x)/x)^2. Лучше пользоваться формулой, приведенной Stepa. I=(2*J(x)/x)^2. Здесь J - функция Бесселя первого типа (рода) первого порядка.

На всякий случай, названия некоторых методов фильтрации при наличии шума: Винеровская фильтрация, фильрация по Тихонову. Применение обычных методов фильрации (без учета шума) в большинстве случаев хороших результатов не даст.

Сегодня занялся изучением формулы I=(2*J(x)/x)^2, почему-то пока не сложилось мнение, что это абсолютно правильный вариант (I=(sin(x)/x)^2 тоже сильно упрощенный), похоже надо всерьез заняться теорией. За фильтрацию по Тихонову - Спасибо.

[GNM]

Вывод формулы I=(2*J(x)/x)^2 есть в кинге: Теоретическая физика. Том II. Теория поля. Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшиц. Там она выглядит чуть иначе, но суть от этого не меняется. Какие были сделаны предположения при выводе этой формулы я досконально не разбирался. Скан книги можно найти в интернете.

Хотя мое мнение - пытаться вывести более точную и общую формулу не нужно.

[Serge Chuprakov]

Вывод формулы I=(2*J(x)/x)^2 есть в кинге: Теоретическая физика. Том II. Теория поля. Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшиц. Там она выглядит чуть иначе, но суть от этого не меняется. Какие были сделаны предположения при выводе этой формулы я досконально не разбирался. Скан книги можно найти в интернете.

Хотя мое мнение - пытаться вывести более точную и общую формулу не нужно.

При выводе этой формулы мистер Эйри проинтегрировал функцию плоской световой волны по площади круглого входного зрачка. А мосье Френель до этого проинтегрировал ту же волну по бесконечной полуплоскости с вырезанным кружком затмевающего экрана. Получил светлое пятно в центре тени этого экрана. Как к счастью, оказалось, выводить для данного случая более точную и общую формулу можно и нужно (форма края экрана и материал из которого он изготовлен имеют весьма важное значение), а то бы не летали коронографы с внешним затмением.  Так чем же черт не шутит для решения, найденного мистером Эйри??? Это вам не фотошоп, это Физика 

[343YK9SE9V]

Дилетант - любителю.
     Если вести речь только о близко расположенных двойных звездах, то численная оценка «абсолютной» разрешающей способности телескопа (140/D) установлена неверно (см. рис. ниже):
     
     На указанном "пределе" вытянутость (эллиптичность) слитного изображения звезд составляет около 40 %. Глаз способен заметить эллиптичность до 5 %, а с применением ПЗС это значение еще меньше. Это первое возражение
     Второе возражение заключается в возможности применения пространственного фильтра с целью снижения яркости обоих источников. Это позволяет исследовать суммарный сигнал не на уровне его «подошвы», где обе звезды действительно слитны, а на уровне их «вершин». В качестве пространственного фильтра хорош кольцевой телескоп: при понижения яркости и контраста на низких и средних частотах - происходит повышение контраста и разрешающей способности в области высоких пространственных частот.     
     И, наконец, третье. Если при рассматривании в зрительную трубу какого-либо объекта сместить вправо или влево зрачок глаза относительно зрачка окуляра, то отчетливость изображения мелких деталей может возрасти более чем в 2 раза.
     Таким образом, при умелом использовании указанных свойств на оптике того же диаметра возможно преодоление «абсолютного» критерия.

[echech]

Если вести речь только о близко расположенных двойных звездах, то численная оценка «абсолютной» разрешающей способности телескопа (140/D) установлена неверно

Это не оценка, а определение - оптика позволяет разрешить пару звезд, если расстояние между максимумами в их дифр. картине равно и больше расстоянию от центра дифр. картину до первого минимума. Просто для определенности было постулировано так.
Оценки и предположения о том разрешилась ли какая-то конкретная пара звезд (со своим соотношением яркостей, цвета и т.п.) делается во время наблюдений и может как немного превзойти этот предел, так и сильно не дотягивать до него.

В качестве пространственного фильтра хорош кольцевой телескоп

Тем не менее практического применения этот метод для наблюдения двойных не нашел - лучшие результаты были получены традиционными рефраторами со сплошной апертурой.

Если при рассматривании в зрительную трубу какого-либо объекта сместить вправо или влево зрачок глаза относительно зрачка окуляра, то отчетливость изображения мелких деталей может возрасти более чем в 2 раза

То есть смещаем входной пучок с центральной части роговицы с наилучшим оптическим качеством в сторону и получаем двухкратный выигрыш в разрешении? Это при том, что диаметр пучка менее 1 мм и 100% игроком будет дифракция. Какая-то ерунда.

[343YK9SE9V]

     Обсуждаемую проблему лучше обозначить как "О сверхразрешении". В 1980х я раскапывал этот вопрос. Гальпериным (ж. "Оптика и спектроскопия", 1940е) теоретически было доказано, что аподизацией можно уменьшить диаметр центрального ядра в кружке рассеяния не более, чем на 40 %. Г.М. Попов своими исследованиями дифракции на кольцевом телескопе  подтвердил это (см. "Современная астрономическая оптика", с. 25).
     "Не скалярную" мысль напомнил нам участник нашего обсуждения: картина дифракции в фокальной плоскости объектива зависит от материала диафрагмы, установленной во входном зрачке (это - из Борна и Вольфа). Отсюда тоже можно что-то отжать, но вряд ли 10-крат, о которых идет речь в сообщении.
     Никто как сам Рэлей смутил нас утверждением, что если препятствие меньше длины волны, то оно обтекается волной и результат этой встречи бесследно затягивается. Однако у Дитчберна есть упоминание о "супермикроскопе", с помощью которого можно наблюдать в темном поле отдельные светящиеся пылинки, размеры которых на порядок меньше длины волны. 
     Здесь кстати вспомнить о зависимости разрешающей способности микроскопа от используемой апертуры: если на объект смотреть не только с фронтальной стороны, но и сзади, то угловая апертура, благополучно преодолев 180 градусов, устремится к 360. Такую возможность предоставляет эллипсоид - одна из "истинно оптических поверхностей", сохраняющая свои свойства при любом диаметре. Но такая "объемная" микроскопия потребует спецприемника и интерпретатора.
     Возвращаясь к телескопам, хочу высказать предположение, что тонкую структуру в удаленном объекте можно различить, исследуя непосредственно фазовые искажения волнового фронта: фокусируя, мы сами "сминаем" информацию и теряем ее.  Кто занимается исследованием интерферограмм, поймет мою мысль: уже сейчас существует аппаратура,способная "замечать" искажения фазы, исчисляемые тысячными  долями длины волны. Весь вопрос в том, как на плоском приемнике зарегистрировать сигнал, который в миллионы раз слабее, чем в фокальной плоскости телескопа. По-моему и здесь нет причин для уныния: в 1940х С.И. Вавиловым было показано, что глаз способен регистрировать отдельные фотоны. Но это - орган сотворенный, а наши демиурги всегда способны на большее!

[echech]

Каширин! (Извините, не знаю имени отчества, обращаюсь по нику)
Вы разочаровываете!
Эллипсоид и фиксация волны на апертуре - это здорово, но и более-менее понятно. Но я уже который день ломаю голову над брошенной вами фразой о смещении зрачка наблюдателя с оси окуляра и не могу ничего понять... Прошу вас поясните, что же вы имели все-же ввиду?

[343YK9SE9V]

   О первом замечании оппонента с псевдонимом "Тришка": "... просто было постулировано так".
   Цитирую (по В.Н. Чуриловский "Теория оптических приборов", М.-Л.: Машиностроение, 1966, с. 217): "Какой бы чувствительностью ... ни обладал ... приемник ... он не сможет обнаружить наличия двух источников". В.Н.Чуриловский ссылается на проф. В.Е. Мурашкинского, установившего "Абсолютный Критерий (АК)" в 1928 г. И этот "постулат" кочует с тех пор из одного учебника в другой.
   Пользуясь случаем, хочу выразить свою солидарность с М. Седых (см.# 32), который заявил о праве на жизнь формулы 80/D. Я полагаю, что дальнейшее развитие средств регистрации и анализа тонкой структуры дифракционных картин будет неуклонно сдвигать "АК" в сторону снижения коэффициета при параметре.

[echech]

Вы всерьез полагаете, что этот критерий запустил в жизнь уважаемый Чуриловский?