Телескопы покупают здесь


A A A A Автор Тема: Геометрия Шварцшильда  (Прочитано 3335 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн ПетpАвтор темы

  • ****
  • Сообщений: 358
  • Благодарностей: 2
    • Сообщения от Петp
Re: Геометрия Шварцшильда
« Ответ #40 : 09 Янв 2018 [17:17:47] »
Под уравнениями геодезической, обычно подразумевают дифференциальные уравнения 2го порядка относительно времени и 3х пространственных координат.
Это описание сильно напоминает уравнение интервала ds2=....
Если не сложно, приведите образец такого уравнения геодезической.

В качестве решения рассматривают вектор 4-скорости, хотя для нахождения уравнения r=r(t), надо еще решить систему, задаваемую 4-вектором.
Как-то это слишком уж общими фразами. Но смысл их отчасти уже просматривается: готовых, известных выкладок, ведущих к мизнеровским уравнениям r(t) здесь нет. Посмотрел ваши ссылки. К сожалению, использовать их я не смогу.   

Оффлайн kvidak

  • ****
  • Сообщений: 446
  • Благодарностей: 6
  • Мне нравится этот форум!
    • Сообщения от kvidak
    • Динамика в общей теории относительности, вариационные методы, давление вакуума
Re: Геометрия Шварцшильда
« Ответ #41 : 09 Янв 2018 [17:50:37] »
Под уравнениями геодезической, обычно подразумевают дифференциальные уравнения 2го порядка относительно времени и 3х пространственных координат.
Это описание сильно напоминает уравнение интервала ds2=....
Если не сложно, приведите образец такого уравнения геодезической.
Из Фока:
Но решать удобнее тождественные им уравнения Лагранжа.

Оффлайн ПетpАвтор темы

  • ****
  • Сообщений: 358
  • Благодарностей: 2
    • Сообщения от Петp
Re: Геометрия Шварцшильда
« Ответ #42 : 09 Янв 2018 [17:58:26] »
Само уравнение r=r(t) или
Это не уравнение, это формула... ;)
Уравнение это то, что надо решить чтобы найти формулу (или конкретное число, если, например, уравнение алгебраическое).
Например, квадратное уравнение и формула корней квадратного уравнения.
Еще пару постов и вы научите нас правильно называть функции и уравнения  :)
Еще бы википедию подправить: https://ru.wikipedia.org/wiki/Синусоида:
Цитата
График уравнения [косинусоиды] вида
y = a + b cos ⁡ ( c x + d ) ,
также зачастую называется синусоидой
И, заодно уж, Мизнера (том 3, с.24):
Цитата
Точно так же уходящие на бесконечность геодезические задаются уравнением
U = const...
и еще (том 3, с.50):
Цитата
\[z=\bigtriangleup\lambda /\lambda   ...  (32.6) \] [уравнение (32.6)]

Вы уж извините, но как-то оно коряво звучит: формула геодезической ;).

Оффлайн ПетpАвтор темы

  • ****
  • Сообщений: 358
  • Благодарностей: 2
    • Сообщения от Петp
Re: Геометрия Шварцшильда
« Ответ #43 : 09 Янв 2018 [18:06:54] »
Из Фока:
Но решать удобнее тождественные им уравнения Лагранжа.
Ясно. Такие уравнения, конечно же, я вижу постоянно, но не акцентирую на них внимания. Видимо, в дальнейшем нужно будет уточнять, что я ищу выкладки, ведущие к формулам, по которым строят графики геодезических. 

Оффлайн ulitkanasklone

  • *****
  • Сообщений: 8 645
  • Благодарностей: 280
  • тихо,тихо ползи улитка по склону Фудзи..
    • Сообщения от ulitkanasklone
    • СПРАВОЧНАЯ ИНФОРМАЦИЯ ПО ОТО, СТАТЬИ И НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ
Re: Геометрия Шварцшильда
« Ответ #44 : 09 Янв 2018 [18:39:06] »
Берётся интервал и математически преобразовывается. Ну, как тут скажешь - зачем. Мне интересно увидеть эти преобразования.
Так это и есть уравнения геодезических. Они получаются варьированием интервала \( ds^2 \) по метрическим компонентам. Таким образом находится в данной координатной системе траектория частицы , при котором \( ds^2 \) принимает минимальное значение. Это есть в учебниках.
Мне нравится этот форум
моя страница:
http://антониум.рф/ОТО/GT.html

Оффлайн VladTK

  • *****
  • Сообщений: 2 182
  • Благодарностей: 61
  • Через тернии к звездам
    • Сообщения от VladTK
Re: Геометрия Шварцшильда
« Ответ #45 : 10 Янв 2018 [06:01:16] »
Из Фока: Но решать удобнее тождественные им уравнения Лагранжа.
Ясно. Такие уравнения, конечно же, я вижу постоянно, но не акцентирую на них внимания. Видимо, в дальнейшем нужно будет уточнять, что я ищу выкладки, ведущие к формулам, по которым строят графики геодезических.

Зря не акцентрируете. Это и есть то что Вы ищете. Берете метрику из ds2. Подставляете в формулы для символов Кристоффеля. Далее символы Кристоффеля подставляете в уравнения геодезических. В случае метрики Шварцшильда получаете систему дифференциальных уравнений 2-го порядка для функций t(s),r(s), углы(s) где s - длина геодезической. Решаете ее и получаете в неявном виде интересующую Вас зависимость r(t).
Celestron C6-N

Оффлайн ПетpАвтор темы

  • ****
  • Сообщений: 358
  • Благодарностей: 2
    • Сообщения от Петp
Re: Геометрия Шварцшильда
« Ответ #46 : 10 Янв 2018 [11:02:25] »
Берётся интервал и математически преобразовывается. Ну, как тут скажешь - зачем. Мне интересно увидеть эти преобразования.
Так это и есть уравнения геодезических.
Что именно "это"?

Цитата
Они получаются варьированием
В чем состоит "варьирование"?

Цитата
интервала \( ds^2 \)
Вопрос в этом и состоял: как из интервала "варьированием" получены формулы геодезических, тех самых, которые можно по этим формулам изобразить графически, линиями на координатной плоскости t0r?

Цитата
по метрическим компонентам.
Так что представляет собой такое варьирование по метрическим компонентам?

Цитата
Таким образом находится в данной координатной системе траектория частицы ,
В смысле, находится формула траектории частицы в виде r=r(t) или t=t(r), либо параметрически r=r(x), t=t(x)? Вопрос в этом и заключался: увидеть все эти варьирования ... по метрическим ... для нахождения. В учебниках и в статьях полной цепочки таких преобразований я не встретил. Конечно, допускаю, что просто не заметил.

Цитата
при котором \( ds^2 \) принимает минимальное значение.
Пожалуйста, с этого места поподробнее. Причем здесь минимальное значение? Для нулевых геодезических интервал имеет вполне определенное значение \( ds^2=0 \), а для других либо больше, либо меньше нуля. Ни о каких экстремумах речи не ведётся.

Цитата
Это есть в учебниках.
В учебниках этого либо нет, либо запрятано так, что я не заметил: из исходной метрики Шварцшильда \( ds^2 \)=... получить формулу геодезической для массивной частицы. Есть (МТУ) крайние значения цепочки: интервал и сразу же ответ - формула. А какие выкладки между этими уравнениями?

Не смею настаивать, но хотелось бы увидеть примеры по каждому цитированному вашему утверждению.

Оффлайн ПетpАвтор темы

  • ****
  • Сообщений: 358
  • Благодарностей: 2
    • Сообщения от Петp
Re: Геометрия Шварцшильда
« Ответ #47 : 10 Янв 2018 [11:17:15] »
Из Фока: Но решать удобнее тождественные им уравнения Лагранжа.
Ясно. Такие уравнения, конечно же, я вижу постоянно, но не акцентирую на них внимания. Видимо, в дальнейшем нужно будет уточнять, что я ищу выкладки, ведущие к формулам, по которым строят графики геодезических.
Цитата
Зря не акцентрируете. Это и есть то что Вы ищете.
Вообще-то, вопрос мой сформулирован так, что такие акцентирования не нужны, я ищу не то, что вы имеете в виду.

Цитата
Берете метрику из ds2.
Просьба уточнить вашу фразу. Насколько мне известно ds2 - это и есть метрика. В нашем случае - метрика Шварцшильда. Как можно из метрики взять метрику? На всякий случай из МТУ том3, с.39:
Цитата
метрика Шварцшилъда имеет вид ... ds2=...  (31.22)

Цитата
Подставляете в формулы для символов Кристоффеля. Далее символы Кристоффеля подставляете в уравнения геодезических. В случае метрики Шварцшильда получаете систему дифференциальных уравнений 2-го порядка для функций t(s),r(s), углы(s) где s - длина геодезической. Решаете ее и получаете в неявном виде интересующую Вас зависимость r(t).
Я же в цитате выше уточнил: я ищу все эти выкладки в готовом виде. Конечно, будь все перечисленные вами процедуры элементарными, меня бы уже забросали их готовыми вариантами. Но, видимо, задача эта не совсем тривиальна, как может показаться из вашего описания.
Вновь, не смею настаивать, но буду очень признателен за примеры (можно скриншоты) по описанной вами методике.




Оффлайн mbrane

  • *****
  • Сообщений: 13 628
  • Благодарностей: 292
  • Мне нравится этот форум!
    • Сообщения от mbrane
Re: Геометрия Шварцшильда
« Ответ #48 : 10 Янв 2018 [11:22:11] »
Ясно. Такие уравнения, конечно же, я вижу постоянно, но не акцентирую на них внимания. Видимо, в дальнейшем нужно будет уточнять, что я ищу выкладки, ведущие к формулам, по которым строят графики геодезических.

Камерад вы наверное не знаете, шо зачастую сплошь и рядом при решении дифференциальныз уравнений появляютя либо параметрические кривые, либо неявно заданные, обратная функция которых не имеет представления в элементарных фукциях....но с этим надо смириться - селяви- мера пространства элементарных функций в пространстве аналитических функций равна 0....А элементарную систему дифференциальных уравнений вам  дали на предыдущей странице Геометрия Шварцшильда , а на первой странице даже проинтегррована зависимость ...По хорошему там надо еще повозиться и проработать различные случаи (движение под горизонтом, над горизонтом, коллапс и т.д.), но в целом решение уже дано... выкладок в готовом виде вам никто не даст - их просто напросто нет в природе
« Последнее редактирование: 10 Янв 2018 [11:30:38] от mbrane »

Оффлайн Geen

  • *****
  • Сообщений: 12 210
  • Благодарностей: 200
  • Мне нравится этот форум!
    • Сообщения от Geen
Re: Геометрия Шварцшильда
« Ответ #49 : 10 Янв 2018 [11:37:17] »
Вновь, не смею настаивать, но буду очень признателен за примеры (можно скриншоты) по описанной вами методике.
http://www.k-labs.ru/grel/trajSc.html устроит?
Если у тебя есть фонтан, заткни его, дай отдохнуть и фонтану.

А ещё мы любим обсуждать вкус устриц с теми кто их ел...

Оффлайн ПетpАвтор темы

  • ****
  • Сообщений: 358
  • Благодарностей: 2
    • Сообщения от Петp
Re: Геометрия Шварцшильда
« Ответ #50 : 10 Янв 2018 [11:47:31] »
Ясно. Такие уравнения, конечно же, я вижу постоянно, но не акцентирую на них внимания. Видимо, в дальнейшем нужно будет уточнять, что я ищу выкладки, ведущие к формулам, по которым строят графики геодезических.
Камерад вы наверное не знаете, шо зачастую сплошь и рядом при решении дифференциальныз уравнений появляютя либо параметрические кривые, либо неявно заданные, обратная функция которых не имеет представления в элементарных фукциях....но с этим надо смириться - селяви- мера пространства элементарных функций в пространстве аналитических функций равна 0....
Параметрические кривые или неявно заданные (если вы имеете в виду то же, что и я) - не имею ничего против. Лишь бы это были действующие, реально вычислимые функции, не содержащие уникальных параметров "по вкусу" или "из пальца". Чаще всего приводятся решения, содержащие либо описанные где-то десятком страниц выше, либо вообще "хорошо всем известные", но лишь единожды упомянутые. У меня есть такая, видимо, теперь уже ставшая дурной привычка: если вы приводите функцию или уравнение, то далее сразу же опишите, что означает каждая переменная и чему равны константы.

Цитата
А элементарну систему дифференциальных уравнений вам  дали на предыдущей странице...
Если вы о скриншоте, то это лишь крошечный фрагмент того, что мне нужно.

Цитата
По хорошему там гапдо еще повозиться и проработать различные случаи (движение под горизонтом, над горизонтом, коллапс и т.д.),
Конечно, гапдо!  :) Но речь то о другом, о том: есть ли уже проделанные вычисления? Случай единственный - радиальное падение массивной частицы.

Цитата
но в целом решение уже дано...
Нет, это не решение, это лишь исходные уравнения. Но, да, готовое решение тоже есть у МТУ. Но я создал тему, чтобы найти выкладки, которые привели к этому решению. Мне нужно не само готовое решение, ответ в конце учебника, а промежуточные выкладки, из которых оно получено, причем как можно более детальные, без отбрасывания "тривиальных преобразований" страниц на пять.

Цитата
выкладок в гтовом виде вам никто не даст - их просто напросто нет в природе
С первой частью вашей фразы можно согласиться. Честно говоря, я не ждал и не жду, что кто-то сможет их предоставить. Но вторая часть фразы неверна. Вы же не станете утверждать, что МТУ привели своё решение "с потолка"?

Оффлайн ПетpАвтор темы

  • ****
  • Сообщений: 358
  • Благодарностей: 2
    • Сообщения от Петp
Re: Геометрия Шварцшильда
« Ответ #51 : 10 Янв 2018 [11:56:01] »
Вновь, не смею настаивать, но буду очень признателен за примеры (можно скриншоты) по описанной вами методике.
http://www.k-labs.ru/grel/trajSc.html устроит?
Ответов два:
- это кое-что очень интересное. Навскидку не заметил неясных параметров, надо изучить более тщательно.
- как такового ответа в форме функции из МТУ нет, сравнить весьма проблематично.

Оффлайн Geen

  • *****
  • Сообщений: 12 210
  • Благодарностей: 200
  • Мне нравится этот форум!
    • Сообщения от Geen
Re: Геометрия Шварцшильда
« Ответ #52 : 10 Янв 2018 [12:27:24] »
как такового ответа в форме функции из МТУ нет, сравнить весьма проблематично.
Интегрируете (18) и сравниваете...
Если у тебя есть фонтан, заткни его, дай отдохнуть и фонтану.

А ещё мы любим обсуждать вкус устриц с теми кто их ел...

Оффлайн ПетpАвтор темы

  • ****
  • Сообщений: 358
  • Благодарностей: 2
    • Сообщения от Петp
Re: Геометрия Шварцшильда
« Ответ #53 : 10 Янв 2018 [12:39:34] »
как такового ответа в форме функции из МТУ нет, сравнить весьма проблематично.
Интегрируете (18) и сравниваете...
Сначала нужно убедиться, что гамма не является функцией q и t. После интегрирования нужно провести обратные замены, вернувшись к функции r. А так, конечно ;)

Оффлайн Geen

  • *****
  • Сообщений: 12 210
  • Благодарностей: 200
  • Мне нравится этот форум!
    • Сообщения от Geen
Re: Геометрия Шварцшильда
« Ответ #54 : 10 Янв 2018 [12:42:30] »
Сначала нужно убедиться, что гамма не является функцией q.
Не является - это константа интегрирования (12) и выражает полную энергию.
Если у тебя есть фонтан, заткни его, дай отдохнуть и фонтану.

А ещё мы любим обсуждать вкус устриц с теми кто их ел...

Оффлайн Geen

  • *****
  • Сообщений: 12 210
  • Благодарностей: 200
  • Мне нравится этот форум!
    • Сообщения от Geen
Re: Геометрия Шварцшильда
« Ответ #55 : 10 Янв 2018 [12:47:22] »
После интегрирования нужно провести обратные замены, вернувшись к функции r.
Ну это задача школьного уровня. Главное аккуратно расписать области интегрирования - а вот это, по объёму, больше чем весь тот текст....
Если у тебя есть фонтан, заткни его, дай отдохнуть и фонтану.

А ещё мы любим обсуждать вкус устриц с теми кто их ел...

Оффлайн ПетpАвтор темы

  • ****
  • Сообщений: 358
  • Благодарностей: 2
    • Сообщения от Петp
Re: Геометрия Шварцшильда
« Ответ #56 : 10 Янв 2018 [13:38:26] »
После интегрирования нужно провести обратные замены, вернувшись к функции r.
Ну это задача школьного уровня. Главное аккуратно расписать области интегрирования - а вот это, по объёму, больше чем весь тот текст....
Ну, что ж. От безысходности поработаю с этими интересными уравнениями. Тему можно перевести в режим сна, ожидания. Если у кого-то окажется запрошенный материал, то просьба выложить его (или ссылку) здесь. Напомню:
Нужны подробные выкладки, приводящие непосредственно из метрики Шварцшильда ds2=... к решениям, функциям МТУ вида r=r(t) или t=t(r) для радиально падающих на горизонт ЧД массивных частиц, фотонов и пространственноподобных событий v>c (тахионов v=co - бесконечность).

Оффлайн mbrane

  • *****
  • Сообщений: 13 628
  • Благодарностей: 292
  • Мне нравится этот форум!
    • Сообщения от mbrane
Re: Геометрия Шварцшильда
« Ответ #57 : 10 Янв 2018 [14:15:46] »
Лишь бы это были действующие, реально вычислимые функции, не содержащие уникальных параметров "по вкусу" или "из пальца".
Если вы о скриншоте, то это лишь крошечный фрагмент того, что мне нужно.

Еще раз повторюсь в посте Геометрия Шварцшильда вам дали систему, которая решается  с параметром r... А в посте даже аналитическое решение приведено одного из уравнений, не знаю получится ли проинтегрировать \(\phi(r)\)  в налитическом виде... Если получится то у вас ужо готовое решение...
а промежуточные выкладки, из которых оно получено, причем как можно более детальные, без отбрасывания "тривиальных преобразований" страниц на пять.
промежуточные выкладки даются например в вике  https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%9A%D0%B5%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0_%D0%B2_%D0%BE%D0%B1%D1%89%D0%B5%D0%B9_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B8_%D0%BE%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8... Методика - решение уравнения Гамильтона-Якоби (для этого открывайте курс аналитической динамики с примерами - там все прописано как решаются такие задачи)


PS


Если вас интересует исключительно радиальное движение , то еще все упрощается \(L=0\) - в обозначениях Вики...


ДА... Как и предполагал решить в аналитических  элементарных функциональных зависимостях от \(\phi(r)\) в общем случае не получается  - выплывает функция Вейерштрасса
« Последнее редактирование: 10 Янв 2018 [14:22:36] от mbrane »

Оффлайн ПетpАвтор темы

  • ****
  • Сообщений: 358
  • Благодарностей: 2
    • Сообщения от Петp
Re: Геометрия Шварцшильда
« Ответ #58 : 10 Янв 2018 [16:55:53] »
Если вас интересует исключительно радиальное движение , то еще все упрощается \(L=0\) - в обозначениях Вики...
Да, меня интересует радиальное движение. Но L=0, я уже об этом писал, ведет к делению на ноль. Упрощение не имеет смысла.
Кроме того, любые обсуждения, не касающиеся прямо главного вопроса темы, далее вести я бы не хотел. Я в предыдущем сообщении написал:

Тему можно перевести в режим сна, ожидания. Если у кого-то окажется запрошенный материал, то просьба выложить его (или ссылку) здесь. Напомню:
Нужны подробные выкладки, приводящие непосредственно из метрики Шварцшильда ds2=... к решениям, функциям МТУ вида r=r(t) или t=t(r) для радиально падающих на горизонт ЧД массивных частиц, фотонов и пространственноподобных событий v>c (тахионов v=co - бесконечность).

Оффлайн mbrane

  • *****
  • Сообщений: 13 628
  • Благодарностей: 292
  • Мне нравится этот форум!
    • Сообщения от mbrane
Re: Геометрия Шварцшильда
« Ответ #59 : 10 Янв 2018 [17:33:51] »
Если вас интересует исключительно радиальное движение , то еще все упрощается \(L=0\) - в обозначениях Вики...
Да, меня интересует радиальное движение. Но L=0, я уже об этом писал, ведет к делению на ноль. Упрощение не имеет смысла.


Ну тогда садитесь да проверяйте собственные ошибки. Вот уравнение из вики , вывод которого легко по тойже вике прослеживается
\[\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}={\frac {E^{2}}{m^{2}c^{2}}}-c^{2}+{\frac {r_{s}c^{2}}{r}}-{\frac {L^{2}}{m^{2}r^{2}}}+{\frac {r_{s}L^{2}}{m^{2}r^{3}}}\]
Подставляем \(L=0\), делим на \(c\), и переобозначаем \(c\tau \rightarrow \tau\), \(\left(\frac{E}{mc^2}\right)^2-1 \rightarrow e\), \(\frac{dr}{d\tau}\rightarrow\dot{r}\) получаем уравнение

\[
\dot{r}^2=e+\frac{r_s}{r}
\]


Решение этого уравнения я легко нашел даже не прибегая к пакетам символьной математики
Решение для тела с конечной скоростью на бесконечность \(e>0\)
\[
\tau=\frac{\sqrt{e r^2+r r_s}}{e} - \frac{r_s}{2 e^{\frac{3}{2}}} arcch \left(1+\frac{2 e r}{r_s}\right)
\] 
для \(e=0\) - (свободный коллапс пылевидного облака)
\[
\tau=\frac{2}{3}r_s \left(\frac{r}{r_s}\right)^{\frac{3}{2}}
\]

и для случая подгоризонтного движения \(e<0\)
\[\tau=\frac{\sqrt{e r^2+r r_s}}{e} - \frac{r_s}{2 e^{\frac{3}{2}}} arcch \left(1+\frac{2 e r}{r_s}\right)\]Затем подставляем это все
в уравнение

\[
d\tau=\frac{1}{1-\frac{r_s}{r}}^{-\frac{1}{2}}
\]

и получаем то шо хотите
Цитата



Кроме того, любые обсуждения, не касающиеся прямо главного вопроса темы, далее вести я бы не хотел. Я в предыдущем сообщении написал:

Тему можно перевести в режим сна, ожидания. Если у кого-то окажется запрошенный материал, то просьба выложить его (или ссылку) здесь. Напомню:
Нужны подробные выкладки, приводящие непосредственно из метрики Шварцшильда ds2=... к решениям, функциям МТУ вида r=r(t) или t=t(r) для радиально падающих на горизонт ЧД массивных частиц, фотонов и пространственноподобных событий v>c (тахионов v=co - бесконечность).
« Последнее редактирование: 10 Янв 2018 [19:22:10] от mbrane »