Телескопы покупают здесь


A A A A Автор Тема: Геометрия Шварцшильда  (Прочитано 3336 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн ПетpАвтор темы

  • ****
  • Сообщений: 358
  • Благодарностей: 2
    • Сообщения от Петp
Геометрия Шварцшильда
« : 08 Янв 2018 [14:45:56] »
Просмотрел несколько авторитетных учебников, но не смог найти ответа на один вопрос: как выводятся уравнения мировых линий из уравнения шварцшильдовского интервала? Как известно, геометрия Шварцшильда описывается метрикой, интервалом ds (Мизнер, Торн, Уилер, "Гравитация", т.3, уравнение 31.1 на с.14).
 

Согласно этой метрике на рисунке 31.1 (с.21) изображены мировые линии различных событий.

Как из уравнения метрики получить уравнения для реального построения указанных графиков, мировых линий? В "Гравитации" приведено несколько уравнений, например, 25.35 на с.332, том 2 для мировой линии в координатном времени наблюдателя, падающего на черную дыру:
 

и там же на с.334:
 

Такие же уравнения приведены и для координатного времени (там же):
 

Кроме того приведено еще одно уравнение для случая большой удаленности частицы, совпадающее для координатного и собственного времени:
 

Просьба дать ссылку на доступный источник, в котором этот вопрос раскрыт.

Оффлайн Geen

  • *****
  • Сообщений: 12 210
  • Благодарностей: 200
  • Мне нравится этот форум!
    • Сообщения от Geen
Re: Геометрия Шварцшильда
« Ответ #1 : 08 Янв 2018 [18:25:56] »
мировые линии различных событий.
Это неверная фраза...
Как из уравнения метрики получить уравнения
Уравнения геодезических, видимо? - вычислить символы Кристоффеля и подставить их в уравнение геодезических...
А если имелись ввиду "абстрактные мировые линии", то надо "нарисовать" световые конусы, а "мировая линия" может быть любая, лишь бы их изнутри не пересекала.
в котором этот вопрос раскрыт.
Так а вопрос какой?
Если у тебя есть фонтан, заткни его, дай отдохнуть и фонтану.

А ещё мы любим обсуждать вкус устриц с теми кто их ел...

Оффлайн ПетpАвтор темы

  • ****
  • Сообщений: 358
  • Благодарностей: 2
    • Сообщения от Петp
Re: Геометрия Шварцшильда
« Ответ #2 : 08 Янв 2018 [19:02:57] »
мировые линии различных событий.
Это неверная фраза...
Что именно в этой фразе неверно? Как я понял, на рисунке изображены несколько мировых линий. По описанию в книге видно, что это мировые линии фотонов (нулевые геодезические) и свободно падающих частиц (времениподобные геодезические).

Как из уравнения метрики получить уравнения
Уравнения геодезических, видимо? - вычислить символы Кристоффеля и подставить их в уравнение геодезических...
А если имелись ввиду "абстрактные мировые линии", то надо "нарисовать" световые конусы, а "мировая линия" может быть любая, лишь бы их изнутри не пересекала.
Да, можно сказать и так: уравнения геодезических. Мировые линии не абстрактные, а именно те, что изображены на рисунке из книги. По поводу символов Кристоффеля: вот с этого места, пожалуйста, поподробнее. Просьба, настолько поподробнее, чтобы из этих символов было бы выведено конкретное уравнение в координатах рисунка (t, r). Например, уравнение (25.39б). Я просмотрел несколько учебников, но таких выкладок не встретил.

в котором этот вопрос раскрыт.
Так а вопрос какой?
Вообще-то, вопрос о ссылке, где можно всё это посмотреть. Но можно вопрос и уточнить: как получить конкретное уравнение, что-то типа f(t,r), по которому можно было бы построить все приведенные на рисунке геодезические. Оси координат обозначены явно, в этих координатах изображены линии (геодезические). Как я полагаю, изобразить их можно двояко: произвольно, наугад, либо по однозначно заданному уравнению. Эти уравнения в книге также приведены, но неясно, как они получены.


Оффлайн mbrane

  • *****
  • Сообщений: 13 628
  • Благодарностей: 292
  • Мне нравится этот форум!
    • Сообщения от mbrane
Re: Геометрия Шварцшильда
« Ответ #3 : 08 Янв 2018 [21:48:18] »
мировые линии различных событий.
Это неверная фраза...
Что именно в этой фразе неверно? Как я понял, на рисунке изображены несколько мировых линий. По описанию в книге видно, что это мировые линии фотонов (нулевые геодезические) и свободно падающих частиц (времениподобные геодезические).

Как из уравнения метрики получить уравнения
Уравнения геодезических, видимо? - вычислить символы Кристоффеля и подставить их в уравнение геодезических...
А если имелись ввиду "абстрактные мировые линии", то надо "нарисовать" световые конусы, а "мировая линия" может быть любая, лишь бы их изнутри не пересекала.
Да, можно сказать и так: уравнения геодезических. Мировые линии не абстрактные, а именно те, что изображены на рисунке из книги. По поводу символов Кристоффеля: вот с этого места, пожалуйста, поподробнее. Просьба, настолько поподробнее, чтобы из этих символов было бы выведено конкретное уравнение в координатах рисунка (t, r). Например, уравнение (25.39б). Я просмотрел несколько учебников, но таких выкладок не встретил.

в котором этот вопрос раскрыт.
Так а вопрос какой?
Вообще-то, вопрос о ссылке, где можно всё это посмотреть. Но можно вопрос и уточнить: как получить конкретное уравнение, что-то типа f(t,r), по которому можно было бы построить все приведенные на рисунке геодезические. Оси координат обозначены явно, в этих координатах изображены линии (геодезические). Как я полагаю, изобразить их можно двояко: произвольно, наугад, либо по однозначно заданному уравнению. Эти уравнения в книге также приведены, но неясно, как они получены

Не сильно погружался в вопрос нахождения пучка времениподобных геодезических в Произвольной точке пространства Шварцшильда - но по решениям задачи Кеплера видно что простых решений в аналитических функциях задача не имеет...думаю что даже не имеется решения в виде аналитических интегралов...по всей видимости общее решение имеется только в отдельных случаях : геодезические вдоль радиуса...

Оффлайн ПетpАвтор темы

  • ****
  • Сообщений: 358
  • Благодарностей: 2
    • Сообщения от Петp
Re: Геометрия Шварцшильда
« Ответ #4 : 08 Янв 2018 [23:11:08] »
Не сильно погружался в вопрос нахождения пучка времениподобных геодезических в Произвольной точке пространства Шварцшильда - но по решениям задачи Кеплера видно что простых решений в аналитических функциях задача не имеет...думаю что даже не имеется решения в виде аналитических интегралов...по всей видимости общее решение имеется только в отдельных случаях : геодезические вдоль радиуса...
Речь как раз об этом: свободное падение массивной частицы, фотона или тахиона на горизонт событий. Движение вдоль радиуса. У Мизнера приведены вполне работоспособные уравнения движения для этих случаев. Как они получены? Ни в одном просмотренном учебнике (десятки) я не встретил даже приблизительных примеров таких уравнений.

Оффлайн ulitkanasklone

  • *****
  • Сообщений: 8 645
  • Благодарностей: 280
  • тихо,тихо ползи улитка по склону Фудзи..
    • Сообщения от ulitkanasklone
    • СПРАВОЧНАЯ ИНФОРМАЦИЯ ПО ОТО, СТАТЬИ И НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ
Re: Геометрия Шварцшильда
« Ответ #5 : 08 Янв 2018 [23:35:37] »
Ни в одном просмотренном учебнике (десятки) я не встретил даже приблизительных примеров таких уравнений.
Например "Физика Черных Дыр" Новиков Фролов. пар 2.3 стр. 13 http://alexandr4784.narod.ru/astrof4/astrof4_02_23.pdf

Или можно у пионера уравнений Гильберта "Второе основание физики".
У Вайнберга есть в общем виде. Для всех геодезических, не только радиальных.
« Последнее редактирование: 08 Янв 2018 [23:47:35] от ulitkanasklone »
Мне нравится этот форум
моя страница:
http://антониум.рф/ОТО/GT.html

Оффлайн Geen

  • *****
  • Сообщений: 12 210
  • Благодарностей: 200
  • Мне нравится этот форум!
    • Сообщения от Geen
Re: Геометрия Шварцшильда
« Ответ #6 : 09 Янв 2018 [10:57:25] »
Ни в одном просмотренном учебнике (десятки) я не встретил даже приблизительных примеров таких уравнений.
Но вообще-то, это есть даже в википедии - релятивистская задача Кеплера. Только формулы там такие, что сильно легче не становится. Для конкретной картинки всегда можно решить уравнение геодезических численно и проанализировать решение в предельных случаях.
Если у тебя есть фонтан, заткни его, дай отдохнуть и фонтану.

А ещё мы любим обсуждать вкус устриц с теми кто их ел...

Оффлайн ПетpАвтор темы

  • ****
  • Сообщений: 358
  • Благодарностей: 2
    • Сообщения от Петp
Re: Геометрия Шварцшильда
« Ответ #7 : 09 Янв 2018 [11:03:18] »
Ни в одном просмотренном учебнике (десятки) я не встретил даже приблизительных примеров таких уравнений.
Например "Физика Черных Дыр" Новиков Фролов. пар 2.3 стр. 13 http://alexandr4784.narod.ru/astrof4/astrof4_02_23.pdf
Решение Мизнера для фотона выглядит иначе, чем решение Новикова. Кроме этого, у Мизнера приводится решение для массивной частицы, падающей на горизонт. У Новикова приведены лишь качественные рассуждения. Если в первом случае приведено конкретное уравнение и есть возможность построить график (геодезическую), то во втором – уравнений нет. Вопрос темы – каковы выкладки для получения уравнений в книге Мизнера "Гравитация"?
Или можно у пионера уравнений Гильберта "Второе основание физики".
У Вайнберга есть в общем виде. Для всех геодезических, не только радиальных.
А можно поточнее? Ссылки есть? У Вайнберга я смотрел некоторые книги, но там всё также в качественном виде, нет конкретных конечных уравнений, по которым можно строить геодизические.

Оффлайн ulitkanasklone

  • *****
  • Сообщений: 8 645
  • Благодарностей: 280
  • тихо,тихо ползи улитка по склону Фудзи..
    • Сообщения от ulitkanasklone
    • СПРАВОЧНАЯ ИНФОРМАЦИЯ ПО ОТО, СТАТЬИ И НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ
Re: Геометрия Шварцшильда
« Ответ #8 : 09 Янв 2018 [11:15:15] »
Кроме этого, у Мизнера приводится решение для массивной частицы, падающей на горизонт.
Вне горизонта вроде должно совпадать, просто у Новикова как и у Гильберта и у Вайнберга ( общая формула) записана в дифференциальном виде. Если нужно, то найду точную ссылку. После интегрирования должно получиться. А вот под горизонтом я вам не скажу. Несколько лет назад мы тут разбирали геодезические в координатах Леметра. Сейчас фиг чего найдешь.

Да забыл, обычно хорошо решается уравнение у Новикова , если частица на бесконечности покоилась, то есть с начальными условиями \( E=mc^2 \) . Тогда все интегрируется хорошо . Вам начальные условия все равно нужны.
Мне нравится этот форум
моя страница:
http://антониум.рф/ОТО/GT.html

Оффлайн ПетpАвтор темы

  • ****
  • Сообщений: 358
  • Благодарностей: 2
    • Сообщения от Петp
Re: Геометрия Шварцшильда
« Ответ #9 : 09 Янв 2018 [11:16:58] »
Ни в одном просмотренном учебнике (десятки) я не встретил даже приблизительных примеров таких уравнений.
Но вообще-то, это есть даже в википедии - релятивистская задача Кеплера. Только формулы там такие, что сильно легче не становится.
Я просмотрел множество клонов википедии (разные викимедии и подобные). Нигде не встретил хотя бы подобия выкладок Мизнера. Его уравнения нигде даже не упоминаются.
Для конкретной картинки всегда можно решить уравнение геодезических численно и проанализировать решение в предельных случаях.
А что означает "решить уравнения геодезических"? Речь-то как раз о том и идет: где их взять, причем вполне определенные. Во-вторых, предполагается, что решения будут получены непосредственно из уравнения интервала, метрики Шварцшильда, которые приведут к уравнениям Мизнера. Иначе говоря: есть уравнение, метрика Шварцшильда ds2=… и из него последовательными выкладками нужно получить уравнения для геодезических, приведенные в книге "Гравитация", и по которым построены линии, геодезические на рисунке (первое сообщение темы):


Оффлайн ПетpАвтор темы

  • ****
  • Сообщений: 358
  • Благодарностей: 2
    • Сообщения от Петp
Re: Геометрия Шварцшильда
« Ответ #10 : 09 Янв 2018 [11:26:15] »
Кроме этого, у Мизнера приводится решение для массивной частицы, падающей на горизонт.
Вне горизонта вроде должно совпадать, просто у Новикова как и у Гильберта и у Вайнберга ( общая формула) записана в дифференциальном виде. После интегрирования должно получиться. А вот под горизонтом я вам не скажу. Несколько лет назад мы тут разбирали геодезические в координатах Леметра. Сейчас фиг чего найдешь.
В том-то и дело, что и у Новикова и у Мизнера приведены собственные решения для одной и той же ситуации - падения фотона в координатах удаленного наблюдателя. Но уравнения выглядят по-разному. Кстати, решение Новикова мне кажется лучшим.
Но вот для массивной частицы у Новикова нет уравнения. У Мизнера есть, но как оно получено? В этом, собственно, и вопрос.

Да забыл, обычно хорошо решается уравнение у Новикова , если частица на бесконечности покоилась, то есть с начальными условиями \( E=mc^2 \) . Тогда все интегрируется хорошо . Вам начальные условия все равно нужны.
И вновь тот же вопрос: что означает "уравнение решается"? Какое именно уравнение?
С начальными условиями проблем нет: частица находится на расстоянии r0 и начинает движение с нулевой скорости. Как из этих начальных условий получить уравнение движения r(t)? Чтобы по нему построить линию, график, геодезическую. Но и это не всё: вид уравнения должен совпадать с уравнением Мизнера. Вернее, нужны выкладки для получения всех уравнений Мизнера, в частности, и для тахиона.



Оффлайн ulitkanasklone

  • *****
  • Сообщений: 8 645
  • Благодарностей: 280
  • тихо,тихо ползи улитка по склону Фудзи..
    • Сообщения от ulitkanasklone
    • СПРАВОЧНАЯ ИНФОРМАЦИЯ ПО ОТО, СТАТЬИ И НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ
Re: Геометрия Шварцшильда
« Ответ #11 : 09 Янв 2018 [11:33:58] »
Но и это не всё: вид уравнения должен совпадать с уравнением Мизнера. Вернее, нужны выкладки для получения всех уравнений Мизнера, в частности, и для тахиона.
Наверное уравнение (25.38) у вас не получается. Оно подозрительно совпадает с внешним уравнением(36)  в статье Оппенгеймера-Снайдера 1939 года о движении границы колласпирующего облака .
А что у вас получается после интегрирования геодезической по Новикову-Фролову?
Про тахионы я вам не скажу (если имеется в виду под горизонтом).
Мне нравится этот форум
моя страница:
http://антониум.рф/ОТО/GT.html

Оффлайн Geen

  • *****
  • Сообщений: 12 210
  • Благодарностей: 200
  • Мне нравится этот форум!
    • Сообщения от Geen
Re: Геометрия Шварцшильда
« Ответ #12 : 09 Янв 2018 [12:06:31] »
частица находится на расстоянии r0 и начинает движение с нулевой скорости
в частности, и для тахиона.
Это как???
Возникает ощущение, что Вы сами не понимаете чего хотите. Особенно, если учесть, что нет такого учебника в котором не говорилось бы об уравнении геодезической и о символах Кристоффеля (аффиной связности).

Давайте так, что не понятно, чего не хватает, что не так на странице https://ru.wikipedia.org/wiki/Задача_Кеплера_в_общей_теории_относительности ?
Если у тебя есть фонтан, заткни его, дай отдохнуть и фонтану.

А ещё мы любим обсуждать вкус устриц с теми кто их ел...

Оффлайн ulitkanasklone

  • *****
  • Сообщений: 8 645
  • Благодарностей: 280
  • тихо,тихо ползи улитка по склону Фудзи..
    • Сообщения от ulitkanasklone
    • СПРАВОЧНАЯ ИНФОРМАЦИЯ ПО ОТО, СТАТЬИ И НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ
Re: Геометрия Шварцшильда
« Ответ #13 : 09 Янв 2018 [12:28:07] »
Можно взять дифференциальное уравнение из Гильберта . Собрание сочинений том. 2 стр. 398. (Второе основание физики). (64):

\[ \frac{d}{dt}r=\frac{\left( r-a\right) \,\sqrt{\frac{A\,\left( r-a\right) }{r}+1}}{r} \]

Оно совпадает с Новиковым. \( a=r_g \) . Постоянная A выбирается из начальных условий.

Матпакет дает такое решение :

\[ \frac{\left( 3A+2\right) a\,\log{\left( \frac{\sqrt{\frac{\left( A+1\right) r-Aa}{r}}-\sqrt{A+1}}{\sqrt{\frac{\left( A+1\right) r-Aa}{r}}+\sqrt{A+1}}\right) }+\sqrt{A+1}\,\left( 2A+2\right) a\,\log{\left( \sqrt{\frac{\left( A+1\right) r-Aa}{r}}+1\right) }+\left( -2A-2\right) \,\sqrt{A+1}a\,\log{\left( \sqrt{\frac{\left( A+1\right) r-Aa}{r}}-1\right) }-2\sqrt{A+1}r\,\sqrt{\frac{\left( A+1\right) r-Aa}{r}}}{\sqrt{A+1}\,\left( 2A+2\right) }=t+\mathit{\%{}c} \]

Подставляете начальные данные на скорость и находите постоянную A :
\[ A=-\frac{r_0}{r_0-a} \]

После упрощения должны получить видимо формулу Мизнера.
« Последнее редактирование: 09 Янв 2018 [12:33:20] от ulitkanasklone »
Мне нравится этот форум
моя страница:
http://антониум.рф/ОТО/GT.html

Оффлайн ПетpАвтор темы

  • ****
  • Сообщений: 358
  • Благодарностей: 2
    • Сообщения от Петp
Re: Геометрия Шварцшильда
« Ответ #14 : 09 Янв 2018 [12:34:10] »
Но и это не всё: вид уравнения должен совпадать с уравнением Мизнера. Вернее, нужны выкладки для получения всех уравнений Мизнера, в частности, и для тахиона.
Наверное уравнение (25.38) у вас не получается.
Я бы сказал иначе: как получить это уравнение?

Оно подозрительно совпадает с внешним уравнением(36)  в статье Оппенгеймера-Снайдера 1939 года о движении границы колласпирующего облака.
Это интересно, а можно ссылку на эту работу?

А что у вас получается после интегрирования геодезической по Новикову-Фролову?
А смысл? У них приведено готовое решение – уравнение геодезической для фотона, которое можно непосредственно использовать. Вопрос в другом: почему для одной и той же ситуации получены два визуально отличающихся уравнения (Новиков и Мизнер). У Новикова методика описана предельно четко – ds^2=0 и радиальное движение (углы=0). Интеграл вполне себе интегрируемый.

Про тахионы я вам не скажу (если имеется в виду под горизонтом).
С тахионом ситуация интересная. Его геодезическая до горизонта, очевидно, не уходит на бесконечность. Но в этом случае её, видимо, можно продолжить по прямой под горизонт – прямо в сингулярность или по касательной к ней. Но речь не об этом. У Мизнера на рисунке есть пространственноподобная геодезическая, а это, несомненно, тахион. Вряд ли эта линия нанесена "на глазок". Несомненно, для неё тоже есть уравнение. Какое? Как оно выведено?

Оффлайн Geen

  • *****
  • Сообщений: 12 210
  • Благодарностей: 200
  • Мне нравится этот форум!
    • Сообщения от Geen
Re: Геометрия Шварцшильда
« Ответ #15 : 09 Янв 2018 [12:41:27] »
Несомненно, для неё тоже есть уравнение. Какое? Как оно выведено?
Уравнение геодезических одно и тоже для всех типов геодезических. Разница только в способе параметризации (в смысле аффинного параметра) этой геодезической.
Если у тебя есть фонтан, заткни его, дай отдохнуть и фонтану.

А ещё мы любим обсуждать вкус устриц с теми кто их ел...

Оффлайн ulitkanasklone

  • *****
  • Сообщений: 8 645
  • Благодарностей: 280
  • тихо,тихо ползи улитка по склону Фудзи..
    • Сообщения от ulitkanasklone
    • СПРАВОЧНАЯ ИНФОРМАЦИЯ ПО ОТО, СТАТЬИ И НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ
Re: Геометрия Шварцшильда
« Ответ #16 : 09 Янв 2018 [12:48:09] »
Это интересно, а можно ссылку на эту работу?
Есть сборник классических работ: "Альберт Эйнштейн и теория гравитации". Например здесь:
https://www.twirpx.com/file/57269/
Или может у нас на сайте выложена.
Там есть статья Оппенгеймера Снайдера формула (36)
Но там про коллапс пылевого облака. Вы по идее после интегрирования
по Новикову или по Гильберту должны получить по Мизнеру.
Просто "Гравитация " не мой любимый учебник. Я там плохо ориентируюсь.
Мне нравится этот форум
моя страница:
http://антониум.рф/ОТО/GT.html

Оффлайн ulitkanasklone

  • *****
  • Сообщений: 8 645
  • Благодарностей: 280
  • тихо,тихо ползи улитка по склону Фудзи..
    • Сообщения от ulitkanasklone
    • СПРАВОЧНАЯ ИНФОРМАЦИЯ ПО ОТО, СТАТЬИ И НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ
Re: Геометрия Шварцшильда
« Ответ #17 : 09 Янв 2018 [12:50:30] »
Вопрос в другом: почему для одной и той же ситуации получены два визуально отличающихся уравнения (Новиков и Мизнер)
Так в чем разница? У вас арксинусы повылезали?
Мне нравится этот форум
моя страница:
http://антониум.рф/ОТО/GT.html

Оффлайн ПетpАвтор темы

  • ****
  • Сообщений: 358
  • Благодарностей: 2
    • Сообщения от Петp
Re: Геометрия Шварцшильда
« Ответ #18 : 09 Янв 2018 [12:59:36] »
частица находится на расстоянии r0 и начинает движение с нулевой скорости
в частности, и для тахиона.
Это как???
Вы о чем? Конечно же, с нулевой скорости движение начинает не тахион, а массивная частица. У вас две цитаты выглядят связанными, но они относятся к разным фразам. Вторая цитата означает, что нужны выкладки и для уравнения геодезической тахиона.

Возникает ощущение, что Вы сами не понимаете чего хотите. Особенно, если учесть, что нет такого учебника в котором не говорилось бы об уравнении геодезической и о символах Кристоффеля (аффиной связности).
Однако я пока не встретил ни одного учебника, в котором аффинная связность и символы Кристоффеля демонстрировали бы те выкладками, из которых получены уравнения геодезических Мизнера для массивной частицы, фотона и тахиона. Допускаю, что где-то я был недостаточно внимателен. Мне нужны (я хочу увидеть) аналитические выкладки, на основании которых получены эти уравнения геодезических (см. первое сообщение темы). Поэтому и пришел за помощью на форум.

Давайте так, что не понятно, чего не хватает, что не так на странице https://ru.wikipedia.org/wiki/Задача_Кеплера_в_общей_теории_относительности?
Заметка, видимо, хорошая и полезная, но посвящена она орбитальному движению, а меня интересует радиальное свободное падение частиц на горизонт черной дыры в координатах неподвижного удаленного наблюдателя.

Оффлайн ПетpАвтор темы

  • ****
  • Сообщений: 358
  • Благодарностей: 2
    • Сообщения от Петp
Re: Геометрия Шварцшильда
« Ответ #19 : 09 Янв 2018 [13:07:26] »
Можно взять дифференциальное уравнение из Гильберта . Собрание сочинений том. 2 стр. 398. (Второе основание физики). (64):
\[ \frac{d}{dt}r=\frac{\left( r-a\right) \,\sqrt{\frac{A\,\left( r-a\right) }{r}+1}}{r} \]
После упрощения должны получить видимо формулу Мизнера.
С ума сойти! У вас эти уравнения тоже выглядят как набор фраков-траков (frac)?
ЛаТекса у меня нет, поупражняюсь в расшифровке в другое время.
Чье собрание сочинений - Гильберта? Поищу в инете, но за ссылку буду благодарен.