Телескопы покупают здесь


A A A A Автор Тема: (Не)изотропные (не)геодезические  (Прочитано 3592 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн dzver

  • *****
  • Сообщений: 2 899
  • Благодарностей: 61
    • Сообщения от dzver
Re: (Не)изотропные (не)геодезические
« Ответ #40 : 20 Сен 2016 [23:08:11] »
То как движется свет в нестатическом пространстве-времени, это при отсутствии достоверных экспериментальных данных отчасти лишь вера.
Я этого и не оспаривал, а критиковал ущербное использование и/или переорпределение устоявшихся терминов с вашей стороны.

А наблюдаемые нестатические пространство-времена, у нас все же есть - "расширяющаяся вселенная", "окрестности быстровращающих нейтронных звезд/ЧД" - и по астрономических наблюдений все в целом, вроде стыкуется с предсказаниям ОТО.
Хотя всегда можно сказать что отклонение света от изотропного движения "слишком мало" ; ) 

Насчет возможности чтобы свет не распространялся по изотропных (и особенно если распространяется по пространственноподобных) - у меня другие, более "парадигмальные" возражения - которые я привел раньше - как минимум нелокальность + парадокс дедушки, хоть и "чуть чуть" - т.к. в реальности практически нет статических пространств-времен (ПВ вокруг земли и то не статично, из-за вращения).

Оффлайн jet

  • *****
  • Сообщений: 3 117
  • Благодарностей: 56
  • Outfitter hypervisor
    • Сообщения от jet
Re: (Не)изотропные (не)геодезические
« Ответ #41 : 21 Сен 2016 [00:17:10] »
(ПВ вокруг земли и то не статично, из-за вращения).
Так это вопрос следствия гравмагнетизма из ОТО, а не вопроса (не-)статичности.
ИМХО туда же и остальное перечисленное можно отнести. LCDM параметры разве не отвечают на поставленные в теме вопросы?

Цитата
у меня другие, более "парадигмальные" возражения - которые я привел раньше - как минимум нелокальность
Каким образом?
Одну простую сказку,
А может, и не сказку,
А может, не простую
Хотим вам рассказать.
Её мы помним с детства,
А может, и не с детства,
А может, и не помним,
Но будем вспоминать...

Оффлайн ulitkanasklone

  • *****
  • Сообщений: 8 645
  • Благодарностей: 280
  • тихо,тихо ползи улитка по склону Фудзи..
    • Сообщения от ulitkanasklone
    • СПРАВОЧНАЯ ИНФОРМАЦИЯ ПО ОТО, СТАТЬИ И НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ
Re: (Не)изотропные (не)геодезические
« Ответ #42 : 21 Сен 2016 [11:29:22] »
Рассмотрим метрику Гёделя
Гёдель получил после преобразований координат вот в таком виде свою вращающуюуся вселенную:

\[ ds^2=4a^2(dt^2-dr^2-dz^2+(sh^4{r}-sh^2{r})d{\varphi}^2+2\sqrt{2}{sh}^2{r}d{\varphi}dt) \quad(5.34) \]

Здесь видно , что при некотором критическом значении \( r_c \) , которое определяется из соотношения:
\[ sh^2{r_c}-1=0 \quad(8U) \]

Угловая Компонента метрики  меняет знак и это приводит к нарушению принципа причинности. Так замкнутая пространственная подобная при \( r<r_c \) аналогичная в области с \( r>r_c \) будет времени подобная , если зафиксировать \( r=const, t=const, z=const\) а угол \( \varphi \) меняется на \( 2\pi \).
Меня собственно интересует вопрос, а получит ли сигнал наблюдатель в области \( r<r_c \) (скажем в \( r=0 \) ) от путешественника, который движется против вращения вселенной в области \( r>r_c \) ?
Мне в свое время не удалось найти геодезические для данной метрики (5.34). Может у вас есть решение этой проблемы.
Соотношение (8U) дает особенность в метрике, которую может сигнал не преодолеть.


« Последнее редактирование: 21 Сен 2016 [11:46:58] от ulitkanasklone »
Мне нравится этот форум
моя страница:
http://антониум.рф/ОТО/GT.html

Оффлайн kvidak

  • ****
  • Сообщений: 446
  • Благодарностей: 6
  • Мне нравится этот форум!
    • Сообщения от kvidak
    • Динамика в общей теории относительности, вариационные методы, давление вакуума
Re: (Не)изотропные (не)геодезические
« Ответ #43 : 21 Сен 2016 [21:59:46] »
А наблюдаемые нестатические пространство-времена, у нас все же есть - "расширяющаяся вселенная", "окрестности быстровращающих нейтронных звезд/ЧД" - и по астрономических наблюдений все в целом, вроде стыкуется с предсказаниям ОТО.
Расширяющейся вселенной соответствует ортогональная метрика, в которых свет, скорее всего, движется по геодезическим.  Но эта метрика нестационарная, то есть метрические коэффициенты зависят от времени, поэтому нет смысла говорить о расстоянии между точками. Соответственно, не существует экстремального изотропного пути, соответствующего принципу Ферма или экстремальной энергии световой частицы и, в частности, решения уравнений, определяющих путь. В случае быстро вращающихся нейтронных звезд такое решение имеется.

Гёдель получил после преобразований координат вот в таком виде свою вращающуюуся вселенную:

\[ ds^2=4a^2(dt^2-dr^2-dz^2+(sh^4{r}-sh^2{r})d{\varphi}^2+2\sqrt{2}{sh}^2{r}d{\varphi}dt) \quad(5.34) \]

Здесь видно , что при некотором критическом значении \( r_c \) , которое определяется из соотношения:
\[ sh^2{r_c}-1=0 \quad(8U) \]

Угловая Компонента метрики  меняет знак и это приводит к нарушению принципа причинности. Так замкнутая пространственная подобная при \( r<r_c \) аналогичная в области с \( r>r_c \) будет времени подобная , если зафиксировать \( r=const, t=const, z=const\) а угол \( \varphi \) меняется на \( 2\pi \).
Меня собственно интересует вопрос, а получит ли сигнал наблюдатель в области \( r<r_c \) (скажем в \( r=0 \) ) от путешественника, который движется против вращения вселенной в области \( r>r_c \) ?
Мне в свое время не удалось найти геодезические для данной метрики (5.34). Может у вас есть решение этой проблемы.
Соотношение (8U) дает особенность в метрике, которую может сигнал не преодолеть.

Я тут получил решение для обобщенной метрики для принципа Ферма методом экстремальной энергии:




Это зависит от того, находится ли сфера \( r=r_c \) в области, где подкоренное выражение в формуле радиальной скорости (7.124) отрицательное, то есть, в которую свет не проникает.

Оффлайн ulitkanasklone

  • *****
  • Сообщений: 8 645
  • Благодарностей: 280
  • тихо,тихо ползи улитка по склону Фудзи..
    • Сообщения от ulitkanasklone
    • СПРАВОЧНАЯ ИНФОРМАЦИЯ ПО ОТО, СТАТЬИ И НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ
Re: (Не)изотропные (не)геодезические
« Ответ #44 : 21 Сен 2016 [22:48:44] »
\[ r_c=\ln(\sqrt{2}+1) \]
Мне нравится этот форум
моя страница:
http://антониум.рф/ОТО/GT.html

Оффлайн dzver

  • *****
  • Сообщений: 2 899
  • Благодарностей: 61
    • Сообщения от dzver
Re: (Не)изотропные (не)геодезические
« Ответ #45 : 21 Сен 2016 [23:07:21] »
Расширяющейся вселенной соответствует .... Но эта метрика нестационарная....Соответственно, не существует экстремального изотропного пути, соответствующего принципу Ферма или экстремальной энергии световой частицы и, в частности, решения уравнений, определяющих путь.
Я правильно понимаю, что по "принципу Ферма" - в расширяющейся вселенной (и в частности, в любой нестатической и нестационарной метрике) - свет вообще никак не распространяется?

Оффлайн kvidak

  • ****
  • Сообщений: 446
  • Благодарностей: 6
  • Мне нравится этот форум!
    • Сообщения от kvidak
    • Динамика в общей теории относительности, вариационные методы, давление вакуума
Re: (Не)изотропные (не)геодезические
« Ответ #46 : 22 Сен 2016 [11:53:04] »
Я правильно понимаю, что по "принципу Ферма" - в расширяющейся вселенной (и в частности, в любой нестатической и нестационарной метрике) - свет вообще никак не распространяется?
Принципы Ферма или экстремальной энергии применимы для свободного движения световой частицы в квазистационарном пространстве времени. В других случаях приходится вводить дополнительные силы в правую часть уравнений Лагранжа. Задача для нестационарных, неортогональных по времени метрик еще ждет своего решения.

\[ r_c=\ln(\sqrt{2}+1) \]
При  \(b=2,k=1,p_1=1,p_4=0 \) имеем в скобках формулы (7.124)
\( sinh^2(2r_c)-(2sinh^2(r_c)-p_3)^2.\)
Получается, что возможность прохождения светом сферы \( r=r_c \) зависит от постоянной \(p_3\), то есть, от направления движения.

Оффлайн kvidak

  • ****
  • Сообщений: 446
  • Благодарностей: 6
  • Мне нравится этот форум!
    • Сообщения от kvidak
    • Динамика в общей теории относительности, вариационные методы, давление вакуума
Re: (Не)изотропные (не)геодезические
« Ответ #47 : 22 Сен 2016 [20:51:59] »
При  \(b=2,k=1,p_1=1,p_4=0 \) имеем в скобках формулы (7.124)
\( sinh^2(2r_c)-(2sinh^2(r_c)-p_3)^2.\)
Получается, что возможность прохождения светом сферы \( r=r_c \) зависит от постоянной \(p_3\), то есть, от направления движения.
При \(p_3=0\) это выражение будет всегда положительным, а значит,наблюдатель в  в области \( r<r_c \)  получит сигнал от путешественника, который находится в области \( r>r_c \) . Никакой особенности в выражении для радиальной скорости при  \( r=r_c \) нет. Чтобы сказать, получит ли наблюдатель сигнал в \( r=0 \), надо решить уравнение (7.124).
« Последнее редактирование: 24 Сен 2016 [15:05:47] от kvidak »

Оффлайн kvidak

  • ****
  • Сообщений: 446
  • Благодарностей: 6
  • Мне нравится этот форум!
    • Сообщения от kvidak
    • Динамика в общей теории относительности, вариационные методы, давление вакуума
Re: (Не)изотропные (не)геодезические
« Ответ #48 : 24 Сен 2016 [15:00:14] »
Однако при выбранных постоянных из (7.123) и (7.124) следует, что радиальная скорость будет
\[\pm\frac{dr}{dt}=cosh(r),\]
то есть сигнал, посланный из области \( r>r_c \),  дойдет до наблюдателя в точке  \( r=0 \) .
« Последнее редактирование: 24 Сен 2016 [20:16:33] от kvidak »

Оффлайн ulitkanasklone

  • *****
  • Сообщений: 8 645
  • Благодарностей: 280
  • тихо,тихо ползи улитка по склону Фудзи..
    • Сообщения от ulitkanasklone
    • СПРАВОЧНАЯ ИНФОРМАЦИЯ ПО ОТО, СТАТЬИ И НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ
Re: (Не)изотропные (не)геодезические
« Ответ #49 : 29 Сен 2016 [08:29:00] »
то есть сигнал, посланный из области r>rc,  дойдет до наблюдателя в точке  r=0 .
Я может соберусь и еще раз попробую найти геодезические в координатах Гёделя уже после преобразований. Просто интересно, а что же увидит наблюдатель, если путешественник вернется в прошлое. Есть еще и модель пространства-времени вне вращающегося бесконечного цилиндра. Там тоже наблюдаются замкнутые времениподобные.
Что касается вашего спора с dzver, то я его не понимаю. Dzver прав, что вариационный принцип дает однозначное решение, то есть вариация \[ \delta\int_{a}^{b}ds \]
при фиксированных крайних точках a,b и при уже готовой метрике \( g_{ik}  \) дает однозначное решение, то есть изотропную геодезическую. Другой вопрос , мы тут с VladTk обсуждали проблему, если сама частица меняет поле и мы изначально не знаем метрику, хотя уравнение движения частицы по виду получается такое же как и геодезическое , но пробная будет двигаться по-другому. Также у меня возникло подозрение, что возможно  в таком случае не фиксировать верхнюю границу и мы получим задачу с открытым концом.
« Последнее редактирование: 29 Сен 2016 [08:50:11] от ulitkanasklone »
Мне нравится этот форум
моя страница:
http://антониум.рф/ОТО/GT.html

Оффлайн kvidak

  • ****
  • Сообщений: 446
  • Благодарностей: 6
  • Мне нравится этот форум!
    • Сообщения от kvidak
    • Динамика в общей теории относительности, вариационные методы, давление вакуума
Re: (Не)изотропные (не)геодезические
« Ответ #50 : 29 Сен 2016 [12:14:08] »
Что касается вашего спора с dzver, то я его не понимаю. Dzver прав, что вариационный принцип дает однозначное решение, то есть вариация \[ \delta\int_{a}^{b}ds \]
при фиксированных крайних точках a,b и при уже готовой метрике \( g_{ik}  \) дает однозначное решение, то есть изотропную геодезическую.
Фок писал, что варьирование нулевого интервала не имеет смысла. Когда мы варьируем координату материальной частицы, то значение времени-подобного интервала, соответствующего ее движению, незначительно меняется. Однако это изменение оставляет интервал времени-подобным. Варьирование нулевого интервала приводит к нарушению условия  ds=0, которое означает, что интервал при определенных значениях вариаций координат и скоростей статновится времени-подобным или пространственно-подобным, см. ссылки в посте https://astronomy.ru/forum/index.php/topic,145765.msg3782493.html#msg3782493 . Поскольку данному интервалу ставится в соответствие движение световой частицы, это приводит к нарушению Лоренц-инвариантности величины скорости света в локальной области. То есть,  он уже не будет соответствовать с ветовой частице.
Приближение значения времени-подобного интервала, соответствующего движению массивной частицы между фиксированными точками, к нулю приводит в физическом смысле к неограниченному возрастанию ее энергии, а пространственно-подобный интервал не соответствует движению какого-либо объекта. Такой подход выходит за рамки классического вариационного принципа в механике, где действительные движения системы сравниваются с кинематически возможными движениями.
Получение уравнений движения с помощью варьирования интеграла энергии, согласуещегося с принципом Ферма, соответствует основным положениям вариационного исчисления в классической механике, согласно которым вариации движения должны быть кинематически возможными для системы. При данной постановке вариационной задачи виртуальные смещения координат не нарушают соответствия траектории световой частицы в псевдо-римановом пространстве-времени изотропному пути, то есть не приводят к нарушению Лоренц-инвариантности в локальной области.

Оффлайн dzver

  • *****
  • Сообщений: 2 899
  • Благодарностей: 61
    • Сообщения от dzver
Re: (Не)изотропные (не)геодезические
« Ответ #51 : 29 Сен 2016 [16:13:30] »
Уж не знаю что там писал Фок, но то что вы пишете сильно безграмотно
Однако это изменение оставляет интервал времени-подобным.
И что с того?
Варьирование нулевого интервала приводит к нарушению условия  ds=0,
ds=0 не "наперед известное условие" которое "потом варьируется" (если оно было бы наперед известным - смысла от варьирования не было бы) - точно также, как для массивной частице не варьируется "наперед известное условие" прямого отрезка между двух концов в 4d (результат варьирования в плоском ПВ м минковских координат \(\ddot{x^i}=0\) - описывает и все "прямые" траектории - и времениподобные, и изотропные, и пространственноподобные - которые экстремализируют 4-длину).
Оно ищется (и находится) путем варьирования.
Варьируются траектории между обоих концов чтобы найти неизвестной экстремальной; а сам результат "распространения по прямой" (в частном случае, изотропной) - это траектория являющаяся результатом (следствием) варьирования.
которое означает, что интервал при определенных значениях вариаций координат и скоростей статновится времени-подобным или пространственно-подобным,
И что с того? СТО-то сама по себе вообще не запрещает сверхсветовые движения, напр. тахионы - ее пофиг что там описывать. Да в квантов волновая функция вообще-то и залезает вне светового конуса хотя там убывает экспоненциально.
Поскольку данному интервалу ставится в соответствие движение световой частицы, это приводит к нарушению Лоренц-инвариантности величины скорости света в локальной области.
Полная чушь.
Лоренц-инвариантности пофиг от того какую цепочку событий описывает - местоположения массивной частицы на ее траектории, местоположения световой частицы на ее траектории, сверхсветовой бег вспышки по гирлянды лампочек, или вообще-то какие-то разрозненные события не лежащие на траекторию чего-нибудь.
Также Лоренц-инвариантность никак не "завязана" за существования/несуществования света, также как не завязана за существования/несуществования железа, резины или еще чего-нибудь - не существуй бы свет, она также себе работала для всего остального
То есть,  он уже не будет соответствовать световой частице.
Ну и всякие траектории которые варьируются для массивной частицы тоже не все будут соответствовать движению свободной частице.
Мы варьируем всякие траектории именно чтобы найти истинную траекторию движения, а не наоборот.
Приближение значения времени-подобного интервала, соответствующего движению массивной частицы между фиксированными точками, к нулю приводит в физическом смысле к неограниченному возрастанию ее энергии, а пространственно-подобный интервал не соответствует движению какого-либо объекта.
Энергия-то тут причем? Экстремализируется действие (4-длина траектории) а не энергия.
« Последнее редактирование: 29 Сен 2016 [16:22:37] от dzver »

Оффлайн kvidak

  • ****
  • Сообщений: 446
  • Благодарностей: 6
  • Мне нравится этот форум!
    • Сообщения от kvidak
    • Динамика в общей теории относительности, вариационные методы, давление вакуума
Re: (Не)изотропные (не)геодезические
« Ответ #52 : 29 Сен 2016 [20:47:53] »
Поскольку данному интервалу ставится в соответствие движение световой частицы, это приводит к нарушению Лоренц-инвариантности величины скорости света в локальной области.
Полная чушь.
Лоренц-инвариантности пофиг от того какую цепочку событий описывает - местоположения массивной частицы на ее траектории, местоположения световой частицы на ее траектории, сверхсветовой бег вспышки по гирлянды лампочек, или вообще-то какие-то разрозненные события не лежащие на траекторию чего-нибудь.
Также Лоренц-инвариантность никак не "завязана" за существования/несуществования света, также как не завязана за существования/несуществования железа, резины или еще чего-нибудь - не существуй бы свет, она также себе работала для всего остального
Это вы чушь несете. Если интервал не ненулевой, то это означает, что скорость частицы зависит от выбора системы отсчета.

Однако это изменение оставляет интервал времени-подобным.
И что с того?
Это значит, что данный интервал будет соответствовать траектории движения именно материальной частицы, то есть, ее движение по этому пути является кинематически возможным. Это соответствует основным положениям вариационного исчисления в механике.

которое означает, что интервал при определенных значениях вариаций координат и скоростей статновится времени-подобным или пространственно-подобным,
И что с того? СТО-то сама по себе вообще не запрещает сверхсветовые движения, напр. тахионы - ее пофиг что там описывать. Да в квантов волновая функция вообще-то и залезает вне светового конуса хотя там убывает экспоненциально.
То есть,  он уже не будет соответствовать световой частице.
Ну и всякие траектории которые варьируются для массивной частицы тоже не все будут соответствовать движению свободной частице.
Мы варьируем всякие траектории именно чтобы найти истинную траекторию движения, а не наоборот.
Здесь рассматриваются траектории движения световых частиц, длина которых несоизмеримо больше длины волны кванта. СТО не запрещает сверхсветовые движения, но для фотона, согласно ней, такая траектория не является кинематически возможной, то есть это не согласуется с вариационными принципами механики.
Свободному движению массивной частицы соответствует единственная траектория, которая ищется. Остальные траектории, получающиеся при варьировании, не свободны.

Оффлайн dzver

  • *****
  • Сообщений: 2 899
  • Благодарностей: 61
    • Сообщения от dzver
Re: (Не)изотропные (не)геодезические
« Ответ #53 : 29 Сен 2016 [21:43:07] »
Если интервал не ненулевой, то это означает, что скорость частицы зависит от выбора системы отсчета.
И как движение света с разных скоростей в разных ИСО нарушило бы лоренц-инвариантность? Это не нарушает даже галилей-инвариантности;)
Если свет движился бы кривундельками то да - его скорость зависела бы от системы отсчета.
Как например для любых массивных тел.
Как их движение нарушает лоренц-инвариантность?
Вы вообще знаете что это такое - "лоренц инвариантность" - или ситуация с этим у вас та же, как с понятия "изотропной"?
Свободному движению массивной частицы соответствует единственная траектория, которая ищется. Остальные траектории, получающиеся при варьировании, не свободны.
Почем здесь массивные частицы??
При варьировании для свободного движения мы находим экстремальные траектории в 4-многообразии - решение вариационных уравнений по параметру траектории \(\lambda\), дает систему дифуров которые можно привести к виду \(\ddot{x^i}=0\).
Они интегрируются легко - это прямые в 4d: \(x^i = k^i\lambda + c^i\) где \(k^i, c^i\) - суммарно 8 произвольных коеффициентов; когда \(\lambda\) пробегает траекторию, координаты принимают соответные значения.
Конкретные значения этих коеффициентов вы найдете из граничных условий: наперед заданных 8-ми координат фиксированных концевых точек требуемой траектории (по 4-ре на каждой).
Нас не интересует какова масса, энергия, импульс или еще чего-либо; тахионы ли это, фотоны, нейтроны или камни.
« Последнее редактирование: 29 Сен 2016 [21:59:47] от dzver »

Оффлайн kvidak

  • ****
  • Сообщений: 446
  • Благодарностей: 6
  • Мне нравится этот форум!
    • Сообщения от kvidak
    • Динамика в общей теории относительности, вариационные методы, давление вакуума
Re: (Не)изотропные (не)геодезические
« Ответ #54 : 30 Сен 2016 [03:00:24] »
Если интервал не ненулевой, то это означает, что скорость частицы зависит от выбора системы отсчета.
И как движение света с разных скоростей в разных ИСО нарушило бы лоренц-инвариантность? Это не нарушает даже галилей-инвариантности;)
Если свет движился бы кривундельками то да - его скорость зависела бы от системы отсчета.
Как например для любых массивных тел.
Как их движение нарушает лоренц-инвариантность?
Вы вообще знаете что это такое - "лоренц инвариантность" - или ситуация с этим у вас та же, как с понятия "изотропной"?
Что-то вы тупите как ранее с обязательной геодезичностью изотропных. Если интервал ненулевой, то скорость частицы даже в локальной области зависит от выбора системы отсчета, от ее движения. Это основы СТО.

Свободному движению массивной частицы соответствует единственная траектория, которая ищется. Остальные траектории, получающиеся при варьировании, не свободны.
Почем здесь массивные частицы??
Просто вы писали ранее
Ну и всякие траектории которые варьируются для массивной частицы тоже не все будут соответствовать движению свободной частице.

Оффлайн kvidak

  • ****
  • Сообщений: 446
  • Благодарностей: 6
  • Мне нравится этот форум!
    • Сообщения от kvidak
    • Динамика в общей теории относительности, вариационные методы, давление вакуума
Re: (Не)изотропные (не)геодезические
« Ответ #55 : 30 Сен 2016 [12:17:37] »
dzver: Можно любую изотропную мировую линию соответствующим преобразованием координат превратить в изотропную прямую \(\ddot{x^i}=0\), но это уже будет другое пространство-время. Из кучи металлома можно сделать велосипед. Но это не значит, что на любой куче металла можно ездить.

Поиск экстремального пути частицы можно сравнить с поиском кратчайшего перехода через речку. Допустим, через нее перекинуты несколько прутиков (изотропных), проложены цепочки камней  по дну (времени-подобный путь) и натянуты паутинки (пространственно-подобный путь). Гусеница (световая частица) будет искать ближайший прутик, камни и поутинка ей не подойдут. Человек (материальная частица) может перебраться только по камням. Поиск пути варьированием нулевго интервала соответствует поиску среди прутиков, камней и паутинок вместе взятых. Для гусеницы он может совпасть с ближайшим прутиком (как для статических метрик), а может и не совпасть. Поиск экстремали с помощью варьирования интеграла от энергии световой частицы сравним с ограничением выбора переправы переходом по прутикам.   

Оффлайн dzver

  • *****
  • Сообщений: 2 899
  • Благодарностей: 61
    • Сообщения от dzver
Re: (Не)изотропные (не)геодезические
« Ответ #56 : 30 Сен 2016 [16:49:36] »
Можно любую изотропную мировую линию соответствующим преобразованием координат превратить в изотропную прямую \(\ddot{x^i}\)=0, но это уже будет другое пространство-время.
Бессмысленная комбинация слов.....

Впервых, диф. уравнения \(\ddot{x^i}\) описывают не "одну конкретную линию", а сразу целую семью линий - а именно все "прямые линии" на плоском ПВ в минковских координат.
Во вторых, я выше специально писал, что конкретный координатный вид параметрических уравнений \(\ddot{x^i}\)=0 для траекторий свободного движения - получается именно для плоского ПВ в минковских координат t,x,y,z.
Для других координат (не-минковских) - например сферрических (в том же самом плоском пространстве-времени), уравнения будут иметь другой координатный вид (так как метрика в новых координат имеет другой вид) - но будут описывать ту же самую семью прямых линии (только теперь в новых - напр. сферических - координат).
Так что пространство-время то же самое.

В дальнейшем речь будет только про плоское ПВ и минковских координат на нем (ввиде того что у вас проблемы с понятий геодезическая, изотропная, лоренц-инвариантности и пр., которые вы используете как попало).
По тех же причин буду пользоваться исключительно понятием "прямая" (а не "геодезическая").

Из кучи металлома можно сделать велосипед. Но это не значит, что на любой куче металла можно ездить.
Т.е. принцип наименьшего действия - "куча металлолома"? Нуну
Поиск экстремального пути частицы можно сравнить с поиском кратчайшего перехода через речку. Допустим, через нее перекинуты несколько прутиков (изотропных), проложены цепочки камней  по дну (времени-подобный путь) и натянуты паутинки (пространственно-подобный путь). Гусеница (световая частица) будет искать ближайший прутик, камни и поутинка ей не подойдут. Человек (материальная частица) может перебраться только по камням. Поиск пути варьированием нулевго интервала соответствует поиску среди прутиков, камней и паутинок вместе взятых. Для гусеницы он может совпасть с ближайшим прутиком (как для статических метрик), а может и не совпасть. Поиск экстремали с помощью варьирования интеграла от энергии световой частицы сравним с ограничением выбора переправы переходом по прутикам.   
Нет не так.
Впервых вы опять почему-то пишете "поиск пути варьированием нулевго интервала соответствует"...
Поймите что поиск ведется через любыми путями - а не "варьированием нулевого интервала". Мы еще "не знаем" нулевой интервал или нет, что пути везде-с-нулевым-интервалом являются одни из решений - мы узнаем только после варьирования.

В вашей аналогии:
"Через речку" существуют любые пути:
- через дно (как прямые, так и зигзагообразные по дну)
- через воздух (как прямые, так и зигзагообразные по воздуху)
- по поверхность (как прямые, так и зигзагообразные по поверхности)
- смешанные, виляющие как угодно вверх-вниз и вперед-взад (шел по дно, потом вышел на поверхность, потом вышел в воздух, потом вернулся обратно на начальный берег по воздуху, опять зашел по дну и теперь уже другим путем выполз по дну на другой берег)
Путь между двух точек А и Б в четырехмерии - это любая кривая линия, которая оканчивается на этих точек. Этих линий бесконечно много, и они могут вилять как угодно.

Принцип наименьшего действия говорит нам, что для свободного движения, истинные пути чего-бы-то-не-было с "один берег на другой" - происходят по прямыми линиями.
Т.е. решение вариационных уравнений - дает нам для свободных движений - сразу всю семью прямых линий через речку (исключая все кривые/виляющие линии).
Вариационный принцип дает нам не меньше, но и не больше.

Например то, что множество всех правильных (т.е. прямолинейных) путей для свободного движения распадаются на три класса (времениподобные, пространственноподобные, и изотропные) - уже следствие - оказывается что "смешанныe пути" (где-то времениподобный, где-то пространственноподобный, где-то изотропный) не могут быть "прямыми" - а поэтому исключаются.
(остаются конечно не-свободные движения.. они могут быть кривыми, но как оказывается - опять не могут быть смешанными - уже из-за других причин, которые сами-по-себе не следуют из вариационного принципа.).

Далее, какие "животные" у нас существуют (гусеница, краб, человек, птица) - это уже отдельный вопрос (также несвязанный с вариационным принципом!).
Вариационный принцип нам говорит только то, что чего-бы-оно-не-было (для любых гипотетических животных!) - если движется свободно - будет перебираться с один берег на другой по прямой (одни из этих путей - по дну, другие по поверхность, третьи - через воздух).

Например то, что не существуют "птицы" которые перебирались бы по воздуху (т.е. тахионы по пространственноподобным путям) - просто экспериментальный факт.
Также экспериментальный факт, что существуют гусеницы (т.е. фотоны) - которые (как считается), распространяются по изотропным путям (это не обязательно так! Для нейтрино также думали что это "вид гусениц" а оказались "крабами").
Гипотетически возможно и фотоны окажутся крабами (если у них масса малая но все же не нулевая).

Вариационному принципу, совершенно фиолетово от всего этого (какие разновидности животных существует).
Он нам говорит только то, что чего-бы-то-не-было (любое гипотетическое животное) - если движется свободно - будет двигаться по прямой. 
« Последнее редактирование: 30 Сен 2016 [17:11:49] от dzver »

Оффлайн kvidak

  • ****
  • Сообщений: 446
  • Благодарностей: 6
  • Мне нравится этот форум!
    • Сообщения от kvidak
    • Динамика в общей теории относительности, вариационные методы, давление вакуума
Re: (Не)изотропные (не)геодезические
« Ответ #57 : 30 Сен 2016 [22:30:15] »
dzver: Можно любую изотропную мировую линию соответствующим преобразованием координат превратить в изотропную прямую \(\ddot{x^i}=0\), но это уже будет другое пространство-время.
Здесь я допустил неточность, не любую изотропную, а только геодезическую.

Теперь я понимаю, откуда у вас, dzver, такая уверенность, что любую изотропную линию можно привести к прямой преобразованиями координат. В ЛЛ2 написано, что распространение света осуществляется по геодезическим. А в правой части уравнений гедезических \(\frac{d^2x^l}{ds^2}=-\Gamma^l_{ik}\frac{dx^i}{ds}\frac{dx^k}{ds}\) символы Кристоффеля могут быть приведены к 0 вдоль любой мировой линии. Кстати в ЛЛ2 не пишется, что уравнения изотропной геодезической могут быть получены варьированием интеграла от пути. Однако в ЛЛ2 есть и формулировка принципа Ферма, который для стационарных метрик дает решение, одинаковое с принципом экстремального интнграла энергии http://pubs.sciepub.com/ijp/1/1/1/index.html. уравнения движения световой частицы в этом случае будут иметь вид

 

Изотропные кривые, задаваемые этими уравнениями, вы не приведете к прямой никакими преобразованиями координат хотя бы потому, что для некоторых метрик они и изотропные геодезические отличаются. Но между двумя точками можно провести только одну геодезическую. Поэтому если бы можно было бы привести к прямой, это означало бы, что она геодезическая, то есть оказалось бы, что существуют две различные геодезические, проходящие через одну пару точек, так как при преобразованиях координат гедезические остаются геодезическими ввиду тензорности ковариантной производной.

Оффлайн Geen

  • *****
  • Сообщений: 12 210
  • Благодарностей: 200
  • Мне нравится этот форум!
    • Сообщения от Geen
Re: (Не)изотропные (не)геодезические
« Ответ #58 : 01 Окт 2016 [00:53:11] »
Но между двумя точками можно провести только одну геодезическую.
Например, два полюса на сфере.... ;) (а на самом деле, любые две точки на сфере)
Если у тебя есть фонтан, заткни его, дай отдохнуть и фонтану.

А ещё мы любим обсуждать вкус устриц с теми кто их ел...

Оффлайн dzver

  • *****
  • Сообщений: 2 899
  • Благодарностей: 61
    • Сообщения от dzver
Re: (Не)изотропные (не)геодезические
« Ответ #59 : 01 Окт 2016 [02:21:46] »
Теперь я понимаю, откуда у вас, dzver, такая уверенность, что любую изотропную линию можно привести к прямой преобразованиями координат.
Я нигде такого не говорил!

Любая линия (в частности, изотропная) - либо прямая, либо нет. Никакими преобразованиями координат нельзя преобразовать прямую в кривую и наоборот - это геометрические объекты, независящие ни от каких координат.
Линия либо екстремализирует длину м/у своих близких точек (и значит - прямая), либо нет (и значит - кривая). Вне зависимости от каких-либо координат!!

Вот ради бога - вам дана обычная эвклидова плоскость - как в школе.
На ней нарисована кривая.
Вы можете брать какие угодно координаты на плоскости - декартовые, полярные, какие угодно.
Какими преобразованиями координат вы "приведете" ее к прямую??

Разговор с вами лишен смысла - вы говорите на каком-то непонятном языке.