Частный случай такой метрики рассмотрен в первом посту http://dxdy.ru/topic83526.html .
На этот пост поступил (единственый) комментарий "плохо попахивает"... Я бы не называл это рассмотрением.
И обсуждение мы ведём на этом форуме....
Поэтому, извините, я такие "отсылы" буду воспринимать как флуд...
Этот комментарий поступил не на этот пост, а на один из последующих, но я могу сделать репост.
Рассмотрим метрику Гёделя
\[ ds^{2}=dt^{2}-dr^{2}-dz^{2}+2e^{\sqrt{2}\omega r}dtdy
+\frac{1}{2}e^{2\sqrt{2}\omega r}dy^{2}, (1) \]
где \(\omega \) постоянная.
В статьях
http://pubs.sciepub.com/ijp/1/1/1/index.html ,
http://article.sapub.org/10.5923.j.ijtmp.20120202.03.htmlпоказано, что принцип Ферма для стационарных метрик тождественен принципу экстремального интеграла энергии светоподобной частицы при ее свободном движении. Лагранжиан в этом вариационном методе берется в виде
\[ L=\left(g_{11}\frac{dx^{1}}{d\mu}\right)^{-1}\left\lbrace
g_{1k}\frac{dx^{k}}{d\mu}\pm\left[(g_{1k}g_{1q}-
g_{11}g_{kq})\frac{dx^{k}}{d\mu}\frac{dx^{q}}{d\mu}\right]^{1/2}\right\rbrace. \]
Обобщенные импульсы имеют следующий вид
\[ p_{\lambda}=\frac{\partial L}{\partial
v^{\lambda}}=\frac{v_{\lambda}}{v^{1}v_{1}}, \]
см. также
http://ummaspl.narod.ru/variat.doc .
В результате для пространства Гёделя получаем постоянные движения
\[ p_1=\frac{1}{v^{1}}, \]
\[ p_3=\frac{e^{\sqrt{2}\omega r}v^{1}+\frac{1}{2}e^{2\sqrt{2}\omega
r}v^{3}}{v^{1}\left(v^{1}+e^{\sqrt{2}\omega r}v^{3}\right)}, \]
\[ p_4=-\frac{v^{4}}{v^{1}\left(v^{1}+e^{\sqrt{2}\omega
r}v^{3}\right)}. \]
Отсюда с учетом условия для вектора 4-скорости, следующего из (1), получаем
\[ \frac{dt}{d\mu}=\frac{1}{p_{1}}, \]
\[ \frac{dr}{d\mu}=\pm\frac{\left[4p_{1}p_{3}e^{\sqrt{2}\omega
r}-(p_1^{2}+p_{4}^2)e^{2\sqrt{2}\omega
r}-2p_{3}^2\right]^{1/2}}{p_{1}\left(p_{1}e^{\sqrt{2}\omega
r}-2p_{3}\right)}, \]
\[ \frac{dy}{d\mu}=2\frac{p_{3}-p_{1}e^{\sqrt{2}\omega
r}}{p_{1}e^{\sqrt{2}\omega r}\left(p_{1}e^{\sqrt{2}\omega
r}-2p_{3}\right)}, \]
\[ \frac{dz}{d\mu}=\frac{p_{4}e^{\sqrt{2}\omega
r}}{p_{1}\left(p_{1}e^{\sqrt{2}\omega r}-2p_{3}\right)}. \]
Запишем скорости как производные пространственных координат по времени в координатной системе отсчета
\[ \dot{r}=\pm\frac{\left[4p_{1}p_{3}e^{\sqrt{2}\omega
r}-(p_1^{2}+p_{4}^2)e^{2\sqrt{2}\omega
r}-2p_{3}^2\right]^{1/2}}{\left(p_{1}e^{\sqrt{2}\omega
r}-2p_{3}\right)}, (2) \]
\[ \dot{y}=2\frac{p_{3}-p_{1}e^{\sqrt{2}\omega
r}}{e^{\sqrt{2}\omega r}\left(p_{1}e^{\sqrt{2}\omega
r}-2p_{3}\right)}, (3) \]
\[ \dot{z}=\frac{p_{4}e^{\sqrt{2}\omega
r}}{\left(p_{1}e^{\sqrt{2}\omega r}-2p_{3}\right)}. (4) \]
В принципе геодезических лагранжиан для пространства Гёделя следующий
\[ L_g=(u^1)^2-(u^2)^{2}-(u^4)^{2}+2e^{\sqrt{2}\omega r}u^1u^3
+\frac{1}{2}e^{2\sqrt{2}\omega r}(u^3)^{2}, \]
где индексы вектора 4-скорости k,q=2,3,4 соответствуют пространственным координатам. Находя частные производные \(L_g \) по компонентам 4-скорости, получаем обобщенные импульсы. Для координат t,y,z они будут постоянными движения \(\tilde{p}^i\). Вместе с условием \(L_g=0\) они дают 4 уравнения для определения 4-скоростей \(u^i \), из которых находятся соответствующие принципу геодезических скорости
\[ \dot{r}_g=\pm\frac{\left[20\tilde{p}_{1}\tilde{p}_{3}e^{\sqrt{2}\omega
r}-(\tilde{p}_1^{2}+\tilde{p}_{4}^2)e^{2\sqrt{2}\omega
r}-2\tilde{p}_{3}^2\right]^{1/2}}{\left(\tilde{p}_{1}e^{\sqrt{2}\omega
r}-2\tilde{p}_{3}\right)}, (5) \]
\[ \dot{y}_g=2\frac{\tilde{p}_{3}-\tilde{p}_{1}e^{\sqrt{2}\omega
r}}{e^{\sqrt{2}\omega r}\left(\tilde{p}_{1}e^{\sqrt{2}\omega
r}-2\tilde{p}_{3}\right)}, (6) \]
\[ \dot{z}_g=\frac{\tilde{p}_{4}e^{\sqrt{2}\omega
r}}{\left(\tilde{p}_{1}e^{\sqrt{2}\omega r}-2\tilde{p}_{3}\right)}. (7) \]
Скорости вдоль координат z и у, получаемые обоими методами, (3) и (6), (4) и (7) одинаковы, а скорости вдоль радиальной координаты (2) и (5) различны.
