Телескопы покупают здесь


A A A A Автор Тема: О геодезических и вариационном принципе (из темы о пТЭИ грав.поля)  (Прочитано 3487 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн VladTK

  • *****
  • Сообщений: 2 182
  • Благодарностей: 61
  • Через тернии к звездам
    • Сообщения от VladTK
...То есть теперь первые 2 интеграла не обязательно достигают минимума. Но тогда приведет ли экстремум данного функционала к уравнениям Эйнштейна? Или Вы думаете , что первые 2 как раз дадут ТЭИ с дельта-функциями ?

Экстремума достигает весь функционал, а не его отдельные слагаемые. И почему Вы сомневаетесь в том что вариация функционала действия по метрике не даст уравнений Эйнштейна? Что меняется в мат.аппарате? Вроде ничего. И да - вариация функционалов действия отдельных частиц по метрике дает их тензор энергии-импульса. Входят туда дельта-функции или нет определяется уже видом плотности массы. Если частица предполагается точечной, то дельта-функция входит и на мировой линии частицы наблюдается сингулярность. От нее потом приходится с муками избавляться в уравнениях движения частицы.

...И что-то мне сдается, что верхние пределы b1 и b2 Вы не можете задавать произвольно, а скажется ли это на выводе, мне непонятно.

Почему? Что мешает нам задавать конечные точки произвольно?

Например радиальные геодезические стремящиеся к  горизонту в координатах Шварцшильда.

Не вижу проблемы.

Еще раз посмотрел вариационный принцип в математических учебниках.
У нас тут получается странная вещь. Хотя мы фиксируем верхние пределы, но они не независимы.
 То есть если мы каким-то образом фиксируем точку \( b2 \), то \( b1 \) имеет определенное значение, и наоборот.
На самом деле мы их не знаем...

Как это? Каким образом конечные точки становятся взаимосвязанными? И что значит - мы их не знаем? Мы их сами задаем!!!

...И это в свою очередь влияет на само поле , то есть на потенциалы \( g_{ik} \) . На них же влияют и скорости в конечных
 точках. Тут намечается некая неоднозначность в решении. В конце концов мы должны получить
систему дифференциальных уравнений 2-го порядка с определенными граничными условиями...

Ну да - задание точек разумеется влияет на поле и на их уравнения движения. Правда, при некоторых неясных для меня условиях уравнения движения не зависят от этих точек. Скорости в конечных точках вряд ли влияют на результат вариации - они сами определяются из мировых линий в результате решения уравнений движения. Короче, я не вижу здесь каких-либо неоднозначностей.

...И еще функции должны быть дважды дифференцируемы. Если скалярная кривизна обращается в бесконечность на некоторой поверхности или компоненты терпят разрыв 2-х производных , принцип не работает или дает неверные результаты.

По ОТО компоненты метрики должны быть дифференцируемыми функциями. Их производные по координатам уже обязаны быть только непрерывными функциями. А вторые производные метрики вполне испытывают разрывы первого или второго рода.
И да - в областях, где вторые производные разрывны, не существуют или бесконечны, принцип минимального действия ОТО не работает. Именно поэтому, например, в случае пространства-времени Шварцшильда советы типа вычислить тензор энергии-импульса и убедиться что он нулевой в центре поля лишены смысла. В таких точках просто не выполняются уравнения Эйнштейна.
Celestron C6-N

Оффлайн ulitkanaskloneАвтор темы

  • *****
  • Сообщений: 8 645
  • Благодарностей: 280
  • тихо,тихо ползи улитка по склону Фудзи..
    • Сообщения от ulitkanasklone
    • СПРАВОЧНАЯ ИНФОРМАЦИЯ ПО ОТО, СТАТЬИ И НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ
Экстремума достигает весь функционал, а не его отдельные слагаемые. И почему Вы сомневаетесь в том что вариация функционала действия по метрике не даст уравнений Эйнштейна? Что меняется в мат.аппарате?
Если посмотрите Ландау, то там вариации по полю и вариации по ТЭИ происходят отдельно, даже в разных параграфах, поэтому у меня и возникло подозрение, что будет что-то не так, Вы предлагаете их варьировать совместно. ( У ЛЛ-2 в пар. 95 после формулы (95.4) они просто суммируют действия по полю и по ТЭИ).
Почему? Что мешает нам задавать конечные точки произвольно?
Вообще говоря даже в простом случае 2-х материальных точек если мы задаем a2, b2 и  a1 , то совершенно непонятно какие координаты будут у точки 1 в верхнем пределе (b1) в этом случае . Конечно Вы можете сказать , что нас это не интересует, где-то да окажется. Нас интересует сам путь движения. Но:
Как это? Каким образом конечные точки становятся взаимосвязанными? И что значит - мы их не знаем? Мы их сами задаем!!!
Где окажутся конечные точки влияют на само поле \( g_{ik} \) , если они дают вклад в гравитационное поле от взаимного расположения, а поле влияет на движение. Да и скорости важны. У Вас же в ТЭИ материальных точек, которые Вы выписали,  входят скорости.
Ну да - задание точек разумеется влияет на поле и на их уравнения движения. Правда, при некоторых неясных для меня условиях уравнения движения не зависят от этих точек. Скорости в конечных точках вряд ли влияют на результат вариации - они сами определяются из мировых линий в результате решения уравнений движения. Короче, я не вижу здесь каких-либо неоднозначностей.
Это не очевидно.
Их производные по координатам уже обязаны быть только непрерывными функциями. А вторые производные метрики вполне испытывают разрывы первого или второго рода.
У Ланцоша в книге "Вариационный принцип  механики" указывается на непрерывность вторых производных.
Для уравнений ОТО это существенно.
Пример - я рассматривал коллапс пыли и при пересечении слоев у меня возник разрыв вторых производных (даже в ньютоновском приближении), а также сингулярность в скалярной кривизне.
Второй пример - при упругом соударении частиц скорость меняет направление мгновенно, а это есть скачок в ускорении, то есть во вторых производных. Вариационный принцип  даст уравнение движения с особенностью.
« Последнее редактирование: 06 Дек 2015 [13:44:57] от ulitkanasklone »
Мне нравится этот форум
моя страница:
http://антониум.рф/ОТО/GT.html

Оффлайн VladTK

  • *****
  • Сообщений: 2 182
  • Благодарностей: 61
  • Через тернии к звездам
    • Сообщения от VladTK
Экстремума достигает весь функционал, а не его отдельные слагаемые. И почему Вы сомневаетесь в том что вариация функционала действия по метрике не даст уравнений Эйнштейна? Что меняется в мат.аппарате?
Если посмотрите Ландау, то там вариации по полю и вариации по ТЭИ происходят отдельно, даже в разных параграфах, поэтому у меня и возникло подозрение, что будет что-то не так, Вы предлагаете их варьировать совместно. ( У ЛЛ-2 в пар. 95 после формулы (95.4) они просто суммируют действия по полю и по ТЭИ)...

Вы просто не поняли что написано у Ландау. Смотрите. Берем полный функционал действия системы "материя"+"гравитационное поле" как сумму функционалов действия для "материи" и грав.поля (в виде скаляра кривизны)

\[ S=S_{mat}+S_{grav} \]

Если теперь Вы проварьируете эти слагаемые по метрике пространства-времени, то вариация материального действия даст тензор энергии-импульса, а вариация гравитационного действия тензор Эйнштейна. У Ландау просто эти операции разнесены по разным параграфам, но сути дела это не меняет.

Вообще говоря даже в простом случае 2-х материальных точек если мы задаем a2, b2 и  a1 , то совершенно непонятно какие координаты будут у точки 1 в верхнем пределе (b1) в этом случае . Конечно Вы можете сказать , что нас это не интересует, где-то да окажется. Нас интересует сам путь движения. Но:
Как это? Каким образом конечные точки становятся взаимосвязанными? И что значит - мы их не знаем? Мы их сами задаем!!!
Где окажутся конечные точки влияют на само поле \( g_{ik} \) , если они дают вклад в гравитационное поле от взаимного расположения, а поле влияет на движение...

Что значит "совершенно непонятно какие координаты будут у точки 1 в верхнем пределе (b1) в этом случае"? Мы задаем все точки \(a_1, b_1,a_2, b_2 \). Вы просто думаете, что эти точки как-то должны быть взаимосвязаны, а это не так. Это граничные данные вариационной задачи! И поле метрики мы выбираем не произвольно, а именно так чтобы частица 1 попала из точки a1 в точку b1, а частица 2 - из a2 в b2.

...Да и скорости важны. У Вас же в ТЭИ материальных точек, которые Вы выписали,  входят скорости.

Нет - скорости в данном случае не важны. Вариационная задача - это граничная задача, а не задача Коши. В задаче Коши мы задаем положение и скорость частицы в некоторый момент времени, а потом уже определяем ее положение в любой произвольный момент времени. В граничной задаче мы задаем начальную и конечную точки и требуем частица в них попала. Скорости при этом неявно определяются из уравнений движения и зависят от начальной и конечной точек траектории частицы, т.е. не являются начальными данными.

У Ланцоша в книге "Вариационный принцип  механики" указывается на непрерывность вторых производных.
Для уравнений ОТО это существенно.
Пример - я рассматривал коллапс пыли и при пересечении слоев у меня возник разрыв вторых производных (даже в ньютоновском приближении), а также сингулярность в скалярной кривизне.
Второй пример - при упругом соударении частиц скорость меняет направление мгновенно, а это есть скачок в ускорении, то есть во вторых производных. Вариационный принцип  даст уравнение движения с особенностью.

Я тоже самое и написал. Если вторые производные компонент метрики существуют, то и вариационная задача, и уравнения Эйнштейна вполне определены.
Celestron C6-N

Оффлайн Andrew Chubykalo

  • ***
  • Сообщений: 128
  • Благодарностей: 2
  • Форум то, что надо - всё по-пацански, в натуре!
    • Сообщения от Andrew Chubykalo
Если посмотрите Ландау
Ландау - ещё тот путаник...
Цель моя по жизни - узнать и понять как оно всё на самом деле?

Оффлайн ulitkanaskloneАвтор темы

  • *****
  • Сообщений: 8 645
  • Благодарностей: 280
  • тихо,тихо ползи улитка по склону Фудзи..
    • Сообщения от ulitkanasklone
    • СПРАВОЧНАЯ ИНФОРМАЦИЯ ПО ОТО, СТАТЬИ И НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ
Экстремума достигает весь функционал, а не его отдельные слагаемые. И почему Вы сомневаетесь в том что вариация функционала действия по метрике не даст уравнений Эйнштейна? Что меняется в мат.аппарате?

У Ландау, как всегда не оговаривается, что в данном случае есть границы области, которую они фиксируют при варьировании. Может где-то в другой литературе это более ясно? Но по сути имеется в виду - варьирование  действия материи это фиксация области , где есть вещество в моменты t1 и t2 . А варьирование самого поля - это и внутри материи и вне материи и области у них разные, кроме границы.
В том действии , которое Вы расписали из 3-х интегралов - границы это несколько другое.
\[ S=-m_1 c \int \limits_{a_1}^{b_1} ds_1 - m_2 c \int \limits_{a_2}^{b_2} ds_2 - \frac{c^3}{16 \pi G} \int \limits_{\Omega} R \; \sqrt{-g} \; d^4 x \]

Это координаты мат. тел 1 и 2 на мировой линии.
« Последнее редактирование: 09 Июн 2016 [12:50:01] от ulitkanasklone »
Мне нравится этот форум
моя страница:
http://антониум.рф/ОТО/GT.html

Оффлайн ulitkanaskloneАвтор темы

  • *****
  • Сообщений: 8 645
  • Благодарностей: 280
  • тихо,тихо ползи улитка по склону Фудзи..
    • Сообщения от ulitkanasklone
    • СПРАВОЧНАЯ ИНФОРМАЦИЯ ПО ОТО, СТАТЬИ И НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ
Что значит "совершенно непонятно какие координаты будут у точки 1 в верхнем пределе (b1) в этом случае"? Мы задаем все точки a1,b1,a2,b2. Вы просто думаете, что эти точки как-то должны быть взаимосвязаны, а это не так. Это граничные данные вариационной задачи! И поле метрики мы выбираем не произвольно, а именно так чтобы частица 1 попала из точки a1 в точку b1, а частица 2 - из a2 в b2.
Вот я придумал 2 примера.
1. Пусть вместо Земли вокруг Солнца вращается массивная планета.
Введем систему координат, связанную с удаленными звездами. Например гармоническую. Далее вы говорите, хочу , чтобы планета сделав оборот за время Т1, возвращалась в ту же пространственную точку. Нашли поле. А затем вы настаиваете , чтобы она попала в ту же точку за время Т2. И что же у Вас из написанного действия получится , что зафиксировав разные положения на мировой линии , вы получите неоднозначность в нахождении метрики? А реально у нас вообще траектория разомкнута. Массы Солнца и планеты я задал.

2. Второй пример . Берем пылевой сферический слой и вводим синхронные координаты. Теперь каждая пылинка, а их число N, имеет свою координату R , которая не меняется. Далее решаем классическую задачу о коллапсе пыли (только у нас не шаровое облако, а сфера). Задаем, что она достигает гравитационного радиуса за конечное время. Получили ответ как в учебнике. Затем говорим, а пусть она не достигает его и ловушечная поверхность не образуется ( то есть собственное время бесконечно) . Получим 2 разных решения?
Мне нравится этот форум
моя страница:
http://антониум.рф/ОТО/GT.html

Оффлайн VladTK

  • *****
  • Сообщений: 2 182
  • Благодарностей: 61
  • Через тернии к звездам
    • Сообщения от VladTK
У Ландау, как всегда не оговаривается, что в данном случае есть границы области, которую они фиксируют при варьировании. Может где-то в другой литературе это более ясно? Но по сути имеется в виду - варьирование  действия материи это фиксация области , где есть вещество в моменты t1 и t2 . А варьирование самого поля - это и внутри материи и вне материи и области у них разные, кроме границы.
В том действии , которое Вы расписали из 3-х интегралов - границы это несколько другое.
\[ S=-m_1 c \int \limits_{a_1}^{b_1} ds_1 - m_2 c \int \limits_{a_2}^{b_2} ds_2 - \frac{c^3}{16 \pi G} \int \limits_{\Omega} R \; \sqrt{g} \; d^4 x \]

Это координаты мат. тел 1 и 2 на мировой линии.


Во-первых, давайте уточним что является здесь границей. С моей точки зрения, дело обстоит так. Мы выделяем пространственно-подобные гиперповерхности (3-пространства) в пространстве-времени, соответствующие моментам времени t1 и t2. Вот эти гиперповерхности и есть граница интересующей нас при варьировании области. Внутри этой области мы варьируем и поле и мировые линии частиц. Во-вторых, если материя имеет островное распределение (как у нас частицы) , то материя в области варьирования вырезает гиперцилиндр в процессе своего движения. Мировые линии частиц пересекая основания этого гиперцилиндра как раз и дают нам эти самые начальные и конечные точки варьирования \(a_1,b_1,a_2,b_2\). Если, выбрана координатная система в области варьирования, то естественно эти точки имеют какие-то координаты. Вообще же в интеграле


\[ \int ds \]


интегрирование ведется по параметру мировой линии. Без потери общности можно считать нижний предел нулевым, а верхний неким заданным smax. Начальная точка, соответствующая нижнему пределу, на "нижней" гиперповерхности получается произвольной, а верхняя ограничена только тем, что мировая линия соединяющая начальную и конечную точки должна быть времениподобной. Т.е. конечная точка должна лежать внутри светового конуса начальной точки.




Конечно, в моих словах есть определенная неясность. Связана она с тем как мы определим является ли выбранная гиперповерхность пространственно-подобной не зная исходно метрики пространства-времени (которая сама определяется в ходе решения вариационной задачи)? То же самое касается и светового конуса начальной частицы. Как этот вопрос решается в математике я не знаю, но сам вижу два выхода. Первый - это назначить произвольно выбранную поверхность пространственно-подобной и отбирать только те решения вариационной задачи которые удовлетворяют такому выбору. Второй - это предполагать, что вне области варьирования задана некая исходная метрика и по ней уже определять пространственно-подобность. Не уверен, правда, всегда ли будет согласована такая вариационная задача.

Celestron C6-N

Оффлайн ulitkanaskloneАвтор темы

  • *****
  • Сообщений: 8 645
  • Благодарностей: 280
  • тихо,тихо ползи улитка по склону Фудзи..
    • Сообщения от ulitkanasklone
    • СПРАВОЧНАЯ ИНФОРМАЦИЯ ПО ОТО, СТАТЬИ И НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ
С моей точки зрения, дело обстоит так. Мы выделяем пространственно-подобные гиперповерхности (3-пространства) в пространстве-времени, соответствующие моментам времени t1 и t2. Вот эти гиперповерхности и есть граница интересующей нас при варьировании области. Внутри этой области мы варьируем и поле и мировые линии частиц. Во-вторых, если материя имеет островное распределение (как у нас частицы) , то материя в области варьирования вырезает гиперцилиндр в процессе своего движения. Мировые линии частиц пересекая основания этого гиперцилиндра как раз и дают нам эти самые начальные и конечные точки варьирования a1,b1,a2,b2.
Ну хорошо, пусть Земля при вращении описывает что-то типа гиперцилиндра. Делая оборот она приходит в некое состояние за время T1 . Частицы поверхности может быть вернулись в ту же пространственную точку , хотя для геодезических это не так. То же самое для Солнца - делает оборот за время T2 . Времена могут быть не равны. Если Вы фиксируете все точки такой поверхности по-разному , то данный произвол дает произвол в определении поля.
« Последнее редактирование: 12 Дек 2015 [22:03:10] от ulitkanasklone »
Мне нравится этот форум
моя страница:
http://антониум.рф/ОТО/GT.html

Оффлайн VladTK

  • *****
  • Сообщений: 2 182
  • Благодарностей: 61
  • Через тернии к звездам
    • Сообщения от VladTK
Ну хорошо, пусть Земля при вращении описывает что-то типа гиперцилиндра. Делая оборот она приходит в некое состояние за время T1 . Частицы поверхности может быть вернулись в ту же пространственную точку , хотя для геодезических это не так. То же самое для Солнца - делает оборот за время T2 . Времена могут быть не равны. Если Вы фиксируете все точки такой поверхности по-разному , то данный произвол дает произвол в определении поля.

Я не очень понимаю о каком произволе Вы говорите. Разному выбору начальных и конечных точек системы соответствует разная метрика. И соответственно движение частиц получается разным. Т.е. ситуации, когда одному набору \(a_1,b_1,a_2,b_2\) соответствовало несколько метрик, вариационный принцип не допускает. Если, конечно, я правильно понял про Ваш произвол.
Celestron C6-N

Оффлайн ulitkanaskloneАвтор темы

  • *****
  • Сообщений: 8 645
  • Благодарностей: 280
  • тихо,тихо ползи улитка по склону Фудзи..
    • Сообщения от ulitkanasklone
    • СПРАВОЧНАЯ ИНФОРМАЦИЯ ПО ОТО, СТАТЬИ И НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ
Я не очень понимаю о каком произволе Вы говорите. Разному выбору начальных и конечных точек системы соответствует разная метрика. И соответственно движение частиц получается разным. Т.е. ситуации, когда одному набору a1,b1,a2,b2 соответствовало несколько метрик, вариационный принцип не допускает. Если, конечно, я правильно понял про Ваш произвол.
Интуитивно мне не нравится, что в вариацию границы b1 , b2 не входят явно, на них вариация координат равна нулю и вариация метрических компонент должна быть ноль, но от их значения зависит само поле. Тут возникает некий дискомфорт. И кстати , мы на границах должны закрепить не просто метрику, но и по видимому первые производные, поскольку функционал содержит вторые.

То есть... короче слегка запутался.. , когда мы получим решение в виде системы уравнений относительно \( g_{ik} \) у нас где-то в подсознании должно сидеть, что эта система получена не при произвольной фиксации границ, а при неких фиксированных. И далее поверхность Коши ( пространственно подобная или времени, не важно) и данные Коши, каким-то образом должна следовать из вида метрики?

И собственно откуда следует, что нельзя найти другой набор значений \( \bar{a1},\bar{a2},\bar{b1},\bar{b2} \) дающих ту же метрику?


« Последнее редактирование: 15 Дек 2015 [11:22:35] от ulitkanasklone »
Мне нравится этот форум
моя страница:
http://антониум.рф/ОТО/GT.html

Оффлайн ulitkanaskloneАвтор темы

  • *****
  • Сообщений: 8 645
  • Благодарностей: 280
  • тихо,тихо ползи улитка по склону Фудзи..
    • Сообщения от ulitkanasklone
    • СПРАВОЧНАЯ ИНФОРМАЦИЯ ПО ОТО, СТАТЬИ И НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ
интегрирование ведется по параметру мировой линии. Без потери общности можно считать нижний предел нулевым, а верхний неким заданным smax. Начальная точка, соответствующая нижнему пределу, на "нижней" гиперповерхности получается произвольной, а верхняя ограничена только тем, что мировая линия соединяющая начальную и конечную точки должна быть времениподобной. Т.е. конечная точка должна лежать внутри светового конуса начальной точки.
У меня собственно остался вопрос, а можно ли применять вариационный принцип, если мировая линия "упирается" в сингулярность (скалярная кривизна равна бесконечности) ?
Мне нравится этот форум
моя страница:
http://антониум.рф/ОТО/GT.html

Оффлайн VladTK

  • *****
  • Сообщений: 2 182
  • Благодарностей: 61
  • Через тернии к звездам
    • Сообщения от VladTK
У меня собственно остался вопрос, а можно ли применять вариационный принцип, если мировая линия "упирается" в сингулярность (скалярная кривизна равна бесконечности) ?



Думаю, да. Тут такой момент. Сама сингулярность "не существует" пока мы не поставим вариационную задачу, приводящую к сингулярности. Вообще лучше геометров пытать.
Celestron C6-N

Оффлайн ulitkanaskloneАвтор темы

  • *****
  • Сообщений: 8 645
  • Благодарностей: 280
  • тихо,тихо ползи улитка по склону Фудзи..
    • Сообщения от ulitkanasklone
    • СПРАВОЧНАЯ ИНФОРМАЦИЯ ПО ОТО, СТАТЬИ И НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ
Думаю, да. Тут такой момент. Сама сингулярность "не существует" пока мы не поставим вариационную задачу, приводящую к сингулярности. Вообще лучше геометров пытать.
Математики не "пытаются".
Хорошо, тогда такой вопрос. Вот Вы написали действие для 2-х частиц. При варьировании первые 2 интеграла, если двигаться  по экстремальной траектории, переходят в тензор ЭИ для потока частиц, который выписан у Ландау-Лифшица (106.4) , который для точечных тел? У меня что-то не совсем получается.

\[ T^{ik}=\sum_{a=1}^{2}\frac{{m_a}c}{\sqrt{-g}}\frac{dx^i}{ds}\frac{dx^k}{dt}\delta(r-r_a) \]

Можно попросить модераторов выделить обсуждение про вариационный метод в отдельную тему?
« Последнее редактирование: 10 Июн 2016 [15:26:49] от ulitkanasklone »
Мне нравится этот форум
моя страница:
http://антониум.рф/ОТО/GT.html

Оффлайн Geen

  • *****
  • Сообщений: 12 210
  • Благодарностей: 200
  • Мне нравится этот форум!
    • Сообщения от Geen
Можно попросить модераторов выделить обсуждение про вариационный метода в отдельную тему?
Попробовал найти начало этого обсуждение и не смог - напишите, пожалуйста, в ЛС что именно Вы хотите отделить.
Если у тебя есть фонтан, заткни его, дай отдохнуть и фонтану.

А ещё мы любим обсуждать вкус устриц с теми кто их ел...

Оффлайн ulitkanaskloneАвтор темы

  • *****
  • Сообщений: 8 645
  • Благодарностей: 280
  • тихо,тихо ползи улитка по склону Фудзи..
    • Сообщения от ulitkanasklone
    • СПРАВОЧНАЯ ИНФОРМАЦИЯ ПО ОТО, СТАТЬИ И НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ
Попробовал найти начало этого обсуждение и не смог - напишите, пожалуйста, в ЛС что именно Вы хотите отделить.
Может быть отсюда?
https://astronomy.ru/forum/index.php/topic,125267.160.html
Мне нравится этот форум
моя страница:
http://антониум.рф/ОТО/GT.html

Оффлайн Geen

  • *****
  • Сообщений: 12 210
  • Благодарностей: 200
  • Мне нравится этот форум!
    • Сообщения от Geen
(кликните для показа/скрытия)
Если у тебя есть фонтан, заткни его, дай отдохнуть и фонтану.

А ещё мы любим обсуждать вкус устриц с теми кто их ел...

Оффлайн VladTK

  • *****
  • Сообщений: 2 182
  • Благодарностей: 61
  • Через тернии к звездам
    • Сообщения от VladTK
Математики не "пытаются". Хорошо, тогда такой вопрос. Вот Вы написали действие для 2-х частиц. При варьировании первые 2 интеграла, если двигаться  по экстремальной траектории, переходят в тензор ЭИ для потока частиц, который выписан у Ландау-Лифшица (106.4) , который для точечных тел? У меня что-то не совсем получается. \[ T^{ik}=\sum_{a=1}^{2}\frac{{m_a}c}{\sqrt{-g}}\frac{dx^i}{ds}\frac{dx^k}{dt}\delta(r-r_a) \] Можно попросить модераторов выделить обсуждение про вариационный метода в отдельную тему?

Посмотрите в прикрепленной статье о точечной частице в ПТГМ к сообщению https://astronomy.ru/forum/index.php/topic,111816.msg2611838.html#msg2611838 Формулы ( 2 ) - ( 8 )
Celestron C6-N

Оффлайн ulitkanaskloneАвтор темы

  • *****
  • Сообщений: 8 645
  • Благодарностей: 280
  • тихо,тихо ползи улитка по склону Фудзи..
    • Сообщения от ulitkanasklone
    • СПРАВОЧНАЯ ИНФОРМАЦИЯ ПО ОТО, СТАТЬИ И НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ
Взял немного попозже - что бы лишнего не захватывать.
Спасибо
Посмотрите в прикрепленной статье о точечной частице в ПТГМ к сообщению https://astronomy.ru/forum/index.php/topic,111816.msg2611838.html#msg2611838 Формулы ( 2 ) - ( 8 )
Вы варьируете только по метрике и , видимо это правильно , но вообще говоря, нужно еще и по координатам, по крайней мере первый интеграл в уравнении ниже , отвечающие за движение пробных частиц при готовой метрике, варьируются по координатам.
Выпишу полное уравнение, которое при этом получается при движении N частиц:
\[ -\Sigma_{j=1}^{j=N}{m_jc\int_{a_j}^{b_j}}\frac{1}{2}[u^{l}u^{k}(\frac{\partial{g_{mk}}}{\partial{x^{l}}}+\frac{\partial{g_{ml}}}{\partial{x^{k}}}-\frac{\partial{g_{kl}}}{\partial{x^{m}}} )+g_{mk}\frac{du^{k}}{ds}]ds\delta{x^m}-\frac{c^3}{16{\pi}G}\int(R_{ik}-1/2Rg_{ik})\delta{g^{ik}}\sqrt{-g}d{\Omega}-\frac{c^3}{16{\pi}G}\int{g^{ik}\delta{R_{ik}}\sqrt{-g}}d{\Omega}=0 \quad (A) \]

1. То есть из такой "честной" вариации ничего вразумительного получить не удается.
Первый интеграл это как раз и есть геодезические пробных тел при готовом гравитационном поле.  Второй дает собственно тензор Эйнштейна
Третий обращается в дивергенцию и как написано у Ландау обращается в ноль на поверхности , которая окружает весь 4-объем. Это так, если зафиксирована не только метрика на границе , но и ее производная. Для шара, я так понимаю, это 2-х мерная поверхность шара между двумя фиксированными точками времени \( t_1 \) и \( t_2 \) . Для островной задачи он обращается в ноль при асимпотическом стремлении компонент метрики на бесконечности к метрике Минковского. Либо, как делают еще - добавляют поверхностный член. То есть дополнительная надстройка.

2. Я прочитал бегло статью, которую Вы давали вначале, в деталях не разбирался, но идею понял. То есть у нас имеется готовое фоновое поле, куда попадает массивная частица. Она дает возбуждение поля и частица движется уже в таком эффективном поле с учетом возбуждения. Несколько итераций дает представление об отклонении частицы от классической геодезической.
У Вас в вашей статье с полевой теории примерно то же. Но у нас нет пока готовой метрики, поэтому Вы делаете хитро, Вы берете Минковского.

3. Но моя задача более сложная. Я взял N одинаковых массивных частиц , расположил их по сфере или однородно внутри шара, а затем хочу посмотреть , как они будут двигаться. Тут если и возбуждается метрика , то Минковского.
Что будет в результате , мне сложно сказать.

« Последнее редактирование: 13 Июн 2016 [11:53:13] от ulitkanasklone »
Мне нравится этот форум
моя страница:
http://антониум.рф/ОТО/GT.html

Оффлайн ulitkanaskloneАвтор темы

  • *****
  • Сообщений: 8 645
  • Благодарностей: 280
  • тихо,тихо ползи улитка по склону Фудзи..
    • Сообщения от ulitkanasklone
    • СПРАВОЧНАЯ ИНФОРМАЦИЯ ПО ОТО, СТАТЬИ И НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ
Сама сингулярность "не существует" пока мы не поставим вариационную задачу, приводящую к сингулярности.
На этот вопрос думаю будет такой ответ: если имеется сингулярность некоторой точки, скажем \( \tau1 \) , то надо отступить от нее \( \tau1 -\epsilon \)  и варьировать уже при других фиксированных границах.
Мне нравится этот форум
моя страница:
http://антониум.рф/ОТО/GT.html

Оффлайн VladTK

  • *****
  • Сообщений: 2 182
  • Благодарностей: 61
  • Через тернии к звездам
    • Сообщения от VladTK

Вы варьируете только по метрике и , видимо это правильно , но вообще говоря, нужно еще и по координатам...


Не понял. Вы же спрашивали про тензор энергии-импульса? Он определяется формулой (94.4) из ЛЛ-2. Ее я и применил. В кратком виде она записывается как


\[ T^{ik}=-\frac{2}{\sqrt{-g}} \frac{\delta S}{\delta g_{ik}} \]


где S - функционал действия. Вариации по координатам частиц требуется не здесь, а в выводе уравнений движения.


...2. Я прочитал бегло статью, которую Вы давали вначале, в деталях не разбирался, но идею понял. То есть у нас имеется готовое фоновое поле, куда попадает массивная частица. Она дает возбуждение поля и частица движется уже в таком эффективном поле с учетом возбуждения. Несколько итераций дает представление об отклонении частицы от классической геодезической. У Вас в вашей статье с полевой теории примерно то же. Но у нас нет пока готовой метрики, поэтому Вы делаете хитро, Вы берете Минковского.


О какой статье Вы говорите?


В моей статье Статья0009е.dbf исследуется задача движения пробной частицы в заданном гравитационном поле (т.е. частица никак не влияет на исходное гравитационное поле). Поэтому в этой статье совсем не тоже самое, что мы обсуждаем сейчас. Минковского я беру потому-что никакой иной метрики в ПТГМ просто нет.


...3. Но моя задача более сложная. Я взял N одинаковых массивных частиц , расположил их по сфере или однородно внутри шара, а затем хочу посмотреть, как они будут двигаться. Тут если и возбуждается метрика, то Минковского. Что будет в результате, мне сложно сказать.


Опять не понял - почему в Вашей задаче будет метрика Минковского? Даже в случае с частицами на сфере ни внутри сферы, ни вне ее метрика уже строго говоря не будет Минковской. Тем более для задачи с частицами внутри сферы.
« Последнее редактирование: 14 Июн 2016 [05:58:44] от VladTK »
Celestron C6-N