О геодезических и вариационном принципе (из темы о пТЭИ грав.поля)

[ulitkanasklone]

Из вариационного принципа ОТО как раз геодезические корректно не получаются. В цитированной мной теме на форуме dxdy manul91 написал замечательный пост http://dxdy.ru/post830830.html#p830830:

Геодезические получаются корректно из вариационного принципа для такого функционала:
\[ S=\int^{b}_{a}{\sqrt{g_{ik}dx^{i}dx^{k}}} \]
Находится экстремум функционала - минимальная или максимальная длина траектории в 4- пространстве-времени. И при этом нигде не используется вид ТЭИ.

А вот здесь  мне показали, что из скалярной кривизны в качестве лагранжиана не получаются четко уравнения Гильберта-Эйнштейна:
http://dxdy.ru/post1025147.html#p1025147
Там надо добавлять какой-то поверхностный член.
Или предполагать, что рассматриваются  асимптотически плоские пространства.

[VladTK]

Я помню, что Вам ОТО не очень по вкусу и, что Вы все время стремитесь выйти за ее рамки. 

Это так. Но в данном случае я за рамки ОТО не выхожу.

На фоне отсутствия обоснований, уж очень категорично. Конечно, возможно, что так и есть. Но у меня, есть некоторые противоположные соображения.
Жду, когда кто-нибудь спросит, какие это соображения.

Обоснованием служит сам факт того, что МКС - это твердое тело. В таком случае найти точку с нулевой 4-силой, мягко говоря, сложновато. И не надо ждать просьб - выкладывайте что там у Вас есть 

Если бы мы поместили точку, движущуюся по геодезической, на траекторию МКС, то она регулярно оказывалась то внутри МКС, то вне ее.

Какие основания к такому заключению?

Дык простые же. Пускаем точку, движущуюся по геодезической, по траектории МКС. Т.е. 3-проекции двух этих мировых линий одинаковы. Отличаются они только скоростью. Я предполагаю, что скорости будут отличаться монотонно, т.е. или скорость на геодезической будет постоянно выше чем у МКС, или наоборот. Соответственно точка будет оказываться то внутри МКС, то вне ее. Хотя если разность скоростей будет периодически меняться (то в +, то в -) тогда точка может оказаться и внутри МКС. Но по всякому это не будет некая фиксированная точка МКС.

А почему ТЭИ в таком виде, а не в таком:
\[ T^{ik}=[p+\rho(1+H/c^2)]u^{i}u^{k}-pg^{ik} \]
\( {\rho}H \) - плотность внутренней энергии идеальной жидкости.

Я рассматриваю мат.точки, а не идеальную жидкость.

Из вариационного принципа ОТО как раз геодезические корректно не получаются. В цитированной мной теме на форуме dxdy manul91 написал замечательный пост http://dxdy.ru/post830830.html#p830830:

Геодезические получаются корректно из вариационного принципа для такого функционала:
\[ S=\int^{b}_{a}{\sqrt{g_{ik}dx^{i}dx^{k}}} \]
Находится экстремум функционала - минимальная или максимальная длина траектории в 4- пространстве-времени. И при этом нигде не используется вид ТЭИ.

А вот здесь  мне показали, что из скалярной кривизны в качестве лагранжиана не получаются четко уравнения Гильберта-Эйнштейна:
http://dxdy.ru/post1025147.html#p1025147
Там надо добавлять какой-то поверхностный член.
Или предполагать, что рассматриваются  асимптотически плоские пространства.

Вы прочтите внимательно пост manul91. Он как раз об экстремальности функционала действия в случае системы частица+поле. А про дополнительные условия, необходимые чтобы можно было считать скалярную кривизну лагранжианом, я думаю действительно надо говорить.

[ulitkanasklone]

Вы прочтите внимательно пост manul91. Он как раз об экстремальности функционала действия в случае системы частица+поле. А про дополнительные условия, необходимые чтобы можно было считать скалярную кривизну лагранжианом, я думаю действительно надо говорить.

Я понял, что он сказал и более того, согласен. Хотя тот функционал, который я выписал, включает суммарное поле (оно зашито в \( g_{ik} \) ). И поэтому уравнение геодезических , как экстремум, получено правильно. Вопрос в сложности получения точных решений метрических компонент, если они меняются со временем.
А с другой стороны в литературе указывается, что уравнения движения получается из законов сохранения в ковариантной записи:
\[ \nabla_{k}{T^{ik}}=0 \]

[VladTK]

Я понял, что он сказал и более того, согласен. Хотя тот функционал, который я выписал, включает суммарное поле (оно зашито в \( g_{ik} \) ). И поэтому уравнение геодезических , как экстремум, получено правильно. Вопрос в сложности получения точных решений метрических компонент, если они меняются со временем...

В том то и дело: что зашито в g_ik? А зашито, то о чем я писал в https://astronomy.ru/forum/index.php/topic,125267.msg3473035.html#msg3473035 Уравнение геодезических получается когда мы берем внешнюю метрику и варьируем траекторию. А когда мы исследуем движение частицы в полном гравитационном поле (внешнее поле+собственное), то мы варьируя траекторию затрагиваем само поле и все становится совсем не так как в первом случае.

...А с другой стороны в литературе указывается, что уравнения движения получается из законов сохранения в ковариантной записи:
\[ \nabla_{k}{T^{ik}}=0 \]

Да есть такой вывод. Только опять-таки, если подумать над "содержимым" метрики уравнение окажется невозможным представить в виде уравнения геодезических некоторого псевдо-риманового пространства-времени.

[ulitkanasklone]

Уравнение геодезических получается когда мы берем внешнюю метрику и варьируем траекторию. А когда мы исследуем движение частицы в полном гравитационном поле (внешнее поле+собственное), то мы варьируя траекторию затрагиваем само поле и все становится совсем не так как в первом случае.

Я боюсь, что тогда придется пересматривать процесс коллапса в простом случае. Мы обычно берем такую метрику в синхронных координатах:
\[ ds^2=d{\tau}^2-V(\tau,R)dR^2-r(\tau,R)^2d{\Omega}^2 \]
А надо брать :
\[ ds^2=U(\tau,R)d{\tau}^2-V(\tau,R)dR^2-r(\tau,R)^2d{\Omega}^2 \]
Даже с нулевым давлением , Если учитывать, что с некоторого момента необходимо учитывать гравитацию самих падающих частиц и граница облака будет двигаться не по той геодезической, о которой написано в учебнике на основе метрики Шварцшильда.

[ulitkanasklone]

Вот краткий вывод геодезических:
\[ \delta{ds^2}=2ds\delta{ds}=\delta(g_{ik}(x)dx^{i}dx^{k})=\frac{\partial{g_{ik}}}{\partial{x^{j}}}\delta{x^{j}}dx^{i}dx^{k}+2g_{ik}(x)dx^{i}\delta(dx^{k}) \]

Варьирование по метрике приводит к частным производным, варьирование по координатам приводит к полному дифференциалу: \[ \delta(dx^{k})=d(\delta{x^k}) \]
Далее делим на \( ds^2 \). И используем формулу  интегрированием по частям. На границе \( x=a,b \) вариация равна нулю. В каком месте необходимо учесть гравитацию самой частицы?

[kvidak]

Хотя тот функционал, который я выписал, включает суммарное поле (оно зашито в \( g_{ik} \) ). И поэтому уравнение геодезических , как экстремум, получено правильно. Вопрос в сложности получения точных решений метрических компонент, если они меняются со временем.
А с другой стороны в литературе указывается, что уравнения движения получается из законов сохранения в ковариантной записи:
\[ \nabla_{k}{T^{ik}}=0 \]

Всегда ли уравнения геодезических являются уравнениями движения в свободном пространстве? Для материальных частиц это в первом приближении так. А для света есть различные мнения https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%E2%80%99s_and_energy_variation_principles_in_field_theory .

[VladTK]

Вот краткий вывод геодезических:
\[ \delta{ds^2}=2ds\delta{ds}=\delta(g_{ik}(x)dx^{i}dx^{k})=\frac{\partial{g_{ik}}}{\partial{x^{j}}}\delta{x^{j}}dx^{i}dx^{k}+2g_{ik}(x)dx^{i}\delta(dx^{k}) \]

Варьирование по метрике приводит к частным производным, варьирование по координатам приводит к полному дифференциалу: \[ \delta(dx^{k})=d(\delta{x^k}) \]
Далее делим на \( ds^2 \). И используем формулу  интегрированием по частям. На границе \( x=a,b \) вариация равна нулю. В каком месте необходимо учесть гравитацию самой частицы?

В вариации метрики \( \delta(g_{ik}(x)) \). Написав \( \delta(g_{ik}(x))=\frac{\partial{g_{ik}}}{\partial{x^{j}}}\delta{x^{j}} \) Вы предполагаете, что вариация координат частицы просто смещает частицу с соответствующим дифференциальным изменением заданной метрики. Однако в самосогласованном случае, который нас тут интересует, это смещение приводит не только к дифференциалу метрики, но и изменению самой формы метрики. Формально можно считать, что метрика зависит не только от координат частицы, но и от ее 4-скорости, 4-ускорения и т.д. И самое главное - метрика зависит от массы частицы. Потому как эта масса и является источником кривизны пространства-времени в данном случае.

[ulitkanasklone]

Написав δ(gik(x))=∂gik∂xjδxj Вы предполагаете, что вариация координат частицы просто смещает частицу с соответствующим дифференциальным изменением заданной метрики. Однако в самосогласованном случае, который нас тут интересует, это смещение приводит не только к дифференциалу метрики, но и изменению самой формы метрики. Формально можно считать, что метрика зависит не только от координат частицы, но и от ее 4-скорости, 4-ускорения и т.д. И самое главное - метрика зависит от массы частицы. Потому как эта масса и является источником кривизны пространства-времени в данном случае.

Это очень забавно, что вы написали. Получается, что вариацией мы добиваемся не только экстремальной траектории в фиксированном поле, которое определено из физических условий и условий симметрии, но и меняем по ходу дела само поле и даже массу, хотя не очень ясно где она здесь зашита.

[Geen]

Я рассматриваю мат.точки, а не идеальную жидкость.

А как сформулировать геодезичность движения сингулярности?....

[VladTK]

...Получается, что вариацией мы добиваемся не только экстремальной траектории в фиксированном поле, которое определено из физических условий и условий симметрии, но и меняем по ходу дела само поле...

Да. Варьируя координаты источника поля, мы меняем физические условия. Поле - глобальный объект, а потому не может сразу "согласиться" с такими изменениями. Возникают эффекты запаздывания, трения и т.п.

...и даже массу, хотя не очень ясно где она здесь зашита.

Не, массу мы не меняем. И масса зашита в самой метрике. Ведь вы решаете уравнения Эйнштейна с правой частью в виде тензора энергии-импульса с данной массой.

А как сформулировать геодезичность движения сингулярности?....

Прежде чем ответить на Ваш вопрос, я хотел бы узнать о какой сингулярности Вы говорите?

[Andrew Chubykalo]

Посмотрите, может быть кто-нибудь вступится за классиков.

Как можно говорить о тензоре или там псевдо тензоре энергии-импульса гравитационного поля в теории Эйнштейна, если там и поля-то как такового нет - а сплошная геометрия! вот у Логунова гравитационное поле есть, у Jefimenko  тоже гравитационное поле есть!

[Geen]

Прежде чем ответить на Ваш вопрос, я хотел бы узнать о какой сингулярности Вы говорите?

Ну Вы сказали про "материальные точки" (массивные). Материальная точка в терминах ОТО это сингулярность (ЧД).

[Khrapko]

у Логунова гравитационное поле есть, у Jefimenko  тоже гравитационное поле есть!

Пожалуйста, дайте ссылку на Jefimenko 

[VimanaPro]

Пожалуйста, дайте ссылку на Jefimenko

https://astronomy.ru/forum/index.php/topic,135762.msg3425263.html#msg3425263
https://en.wikipedia.org/wiki/Oleg_D._Jefimenko
https://en.wikipedia.org/wiki/Jefimenko's_equations
http://arxiv.org/find/all/1/all:+Jefimenko/0/1/0/all/0/1

[VladTK]

Ну Вы сказали про "материальные точки" (массивные). Материальная точка в терминах ОТО это сингулярность (ЧД).

На dxdy меня пытались разубедить в таком понимании ЧД    Но я понял что Вы хотите. Сразу признаюсь, что квалифицированно ответить на этот вопрос не могу ибо сам не занимаюсь такими вопросами, а только почитываю статьи по теме. То что Вы спросили - это основная "больная мозоль" попыток формулировки уравнений движения мат.точки. Люди пытаются удалить сингулярность метрики на мировой линии источника методами, напоминающими перенормировку в КТП. Получается своеобразный метод последовательных приближений по массе частицы. В нулевом приближении мы имеем пробную частицу и геодезическое движение в заданной метрике. В первом приближении возникает специфическая сила, сдвигающая частицу с геодезической линии. Подробнее почитайте в статье http://relativity.livingreviews.org/Articles/lrr-2011-7/download/lrr-2011-7Color.pdf в разделе 19.

[ulitkanasklone]

Да. Варьируя координаты источника поля, мы меняем физические условия. Поле - глобальный объект, а потому не может сразу "согласиться" с такими изменениями. Возникают эффекты запаздывания, трения и т.п.

(Наверное мы вышли за пределы темы, можно все про негеодезичность упаковать в отдельную тему.  )
Но продолжу размышления, потому что перестал понимать , что происходит.
Предположим имеем область , в которой введена координатная система. Материальная точка из точки \( a1 \) перемещается в точку \( b1 \) на мировой линии. Начальную точку выбираем, задавая данные Коши. Конечную  \( b1 \) из неких непонятных соображений. Хорошо. Нашли уравнение движения , исходя из вариационного принципа, зная метрику \( g_{ik}  \), то есть поле.

Далее предполагаем, что вторая частица 2 движется из точки \( a2 \)  в точку \( b2 \) . Она  меняет фоновое поле. Если так, что непонятно из каких соображений первая частица перемещается из \( a1 \)  в \( b1 \) ? Как определяется конечная точка? И тут у меня перегревается мозг.  Насколько корректно применяется вариационный метод? Если для второй частицы мы его применяем , то почему распространяем на первую, задавая некую фиксированную точку, которую мы не знаем? 

И еще один вопрос. Если координата конечной точки неопределенна, а есть бесконечность, то работает ли вариационный принцип? Предположим
\( x^{0}_{1}=+\infty \),         \( b1(x^0_{1},x^1_{1},x^2_{1},x^3_{1}) \), то правильно ли определяется экстремум функционала?

[VladTK]

(Наверное мы вышли за пределы темы, можно все про негеодезичность упаковать в отдельную тему.  )
Но продолжу размышления, потому что перестал понимать , что происходит.
Предположим имеем область , в которой введена координатная система. Материальная точка из точки \( a1 \) перемещается в точку \( b1 \) на мировой линии. Начальную точку выбираем, задавая данные Коши. Конечную  \( b1 \) из неких непонятных соображений. Хорошо. Нашли уравнение движения , исходя из вариационного принципа, зная метрику \( g_{ik}  \), то есть поле.

Далее предполагаем, что вторая частица 2 движется из точки \( a2 \)  в точку \( b2 \) . Она  меняет фоновое поле. Если так, что непонятно из каких соображений первая частица перемещается из \( a1 \)  в \( b1 \) ? Как определяется конечная точка? И тут у меня перегревается мозг.  Насколько корректно применяется вариационный метод? Если для второй частицы мы его применяем , то почему распространяем на первую, задавая некую фиксированную точку, которую мы не знаем?...

Не очень ясно, что Вам не ясно?   Исходя из написанного Вами, мы имеем систему из двух мат.точек с грав. полем. Функционал действия такой системы

\[ S=-m_1 c \int \limits_{a_1}^{b_1} ds_1 - m_2 c \int \limits_{a_2}^{b_2} ds_2 - \frac{c^3}{16 \pi G} \int \limits_{\Omega} R \; \sqrt{g} \; d^4 x \]

Параметры \( a_1, a_2,b_1,b_2 \) здесь предполагаются заданными. Координаты мировых линий частиц обозначим через  \( x^i \) и  \( y^i \) и 

\[ ds_1^2=g_{ik}(x^i)  dx^i dx^k \]

\[ ds_2^2=g_{ik}(y^i) dy^i dy^k \]

Принцип экстремального действия утверждает, что в реальном состоянии этой системы данный функционал достигает экстремума. Для этого, согласно вариационному исчислению, необходимо выполнение уравнений движения

\[ \frac{\delta S}{\delta x^i}=0 \]

\[ \frac{\delta S}{\delta y^i}=0 \]

\[ \frac{\delta S}{\delta g_{ik}}=0 \]

При варьировании координат начальные и конечные точки мировых линий частиц не меняются. Варьируются сами мировые линии частиц между этими точками.

...И еще один вопрос. Если координата конечной точки неопределенна, а есть бесконечность, то работает ли вариационный принцип? Предположим
\[  x^{0}_{1}=+\infty,         \( b1(x^0_{1},x^1_{1},x^2_{1},x^3_{1})  \], то правильно ли определяется экстремум функционала?

Ну это лучше каких-нить математиков спрашивать. Если пространство-время ассимптотически плоское, то никаких проблем, я думаю, не будет. В более сложных случаях надо смотреть.

[ulitkanasklone]

Не очень ясно, что Вам не ясно?   Исходя из написанного Вами, мы имеем систему из двух мат.точек с грав. полем. Функционал действия такой системы

S=−m1c∫a1b1ds1−m2c∫a2b2ds2−c316πG∫ΩRg√d4x

Ага теперь понятно (почему-то цитирование не сохраняет формулы, а раньше сохраняло).
То есть теперь первые 2 интеграла не обязательно достигают минимума. Но тогда приведет   ли экстремум данного функционала к уравнениям Эйнштейна? Или Вы думаете , что первые 2 как раз дадут ТЭИ с дельта-функциями ?
И что-то мне сдается, что верхние пределы b1 и b2 Вы не можете задавать произвольно, а скажется ли это на выводе, мне непонятно.

Ну это лучше каких-нить математиков спрашивать. Если пространство-время ассимптотически плоское, то никаких проблем, я думаю, не будет. В более сложных случаях надо смотреть.

Например радиальные геодезические стремящиеся к  горизонту в координатах Шварцшильда.

[ulitkanasklone]

Еще раз посмотрел вариационный принцип в математических учебниках.
У нас тут получается странная вещь. Хотя мы фиксируем верхние пределы, но они не независимы.
 То есть если мы каким-то образом фиксируем точку \( b2 \), то \( b1 \) имеет определенное значение, и наоборот.
На самом деле мы их не знаем.
И это в свою очередь влияет на само поле , то есть на потенциалы \( g_{ik} \) . На них же влияют и скорости в конечных
 точках. Тут намечается некая неоднозначность в решении. В конце концов мы должны получить
систему дифференциальных уравнений 2-го порядка с определенными граничными условиями.

И еще функции должны быть дважды дифференцируемы. Если скалярная кривизна обращается в бесконечность на некоторой поверхности или компоненты терпят разрыв 2-х производных , принцип не работает или дает неверные результаты.