6. УРАВНЕНИЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ И ПОДТВЕРЖДЕНИЕ ТЕОРИИ
Геодезические для шварцшильдовской геометрии:
Дифференциальное уравнение движение пробной частицы в общем виде (Рашевский, стр. 651):
\[ (\frac{d{\sigma}}{d{\varphi}})^2=A+(1-\frac{2MG}{c^2}{\sigma})(B-{\sigma}^2) \quad(6.0) \]
\( {\sigma}=1/r \quad A,B \) - постоянные. \( M \) - полная масса системы.
Радиальная геодезическая ( Новиков-Фролов, (2.3.5)):
\[ \frac{dr}{dt}=\pm\frac{(1-r_g/r)((E/mc^2)^2-1+r_g/r)^{1/2}}{E/mc^2}c \quad(6.1) \]
\( E \) - полная энергия частицы , \( m \)- масса покоя частицы.
Радиальная геодезическая в форме Гильберта (\( c=1 \) ) (Второе основание физики):
\[ (\frac{dr}{dt})^2=(\frac{r-r_g}{r})^2+A(\frac{r-r_g}{r})^3 \quad(6.2) \]
\( 0<A<1 \) \(A=0 \) для света.
Точная формула для угла отклонения нулевых геодезических около массивного тела в координатах Шварцшильда.
\[ \Delta{\phi}=2\int_{r_0}^{\infty}\frac{r_0dr}{r\sqrt{r^2-r_0^2}}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{r_g}{rr_0}\frac{r^3-r_0^3}{r^2-r_0^2}}}-\pi \tag{6.3} \]
\[\Delta\phi=2\int_0^1{\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-\frac{r_g}{r_0}(1-x^3)/(1-x^2)}}}-\pi\tag{6.3a}\]
\[\varphi=\int\frac{dr}{r^2\sqrt{\frac{1}{r_0^2}-\frac{1}{r^2}\left(1-\frac{r_g}{r}\right)}}\tag{ЛЛ2:101.8}\]
\( r_0 \)- минимальная координата на траектории геодезической до центра шара.
Приближенная формула:
\[ \Delta{\phi}\approx2\frac{r_g}{r_0} \]
Время задержки радиосигнала при прохождении вблизи массивного тела в координатах Шварцшильда.
Общее время от \( r_1 \)до \( r_0 \).
\[ t(r_1,r_0)=\sqrt{1-\frac{r_g}{r_0}}\int_{r_0}^{r_1}\frac{rdr}{\sqrt{r^2-r_0^2}}\frac{1}{1-\frac{r_g}{r}}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{r_g}{r_0r}\frac{r^3-r_0^3}{r^2-r_0^2}}} \quad(6.4) \]
\( r_0 \) - минимальная координата на траектории геодезической до центра шара.
* Дополнительная задержка (приближенная формула):
\[ {\Delta}t(r_1,r_0) \approx r_g\ln{\frac{\sqrt{r_1^2-r_0^2}-r_1}{r_0}}+\frac{r_g\sqrt{r_1-r_0}}{2\sqrt{r_1+r_0}}\quad(6.5) \]