Сферический звездолет в вакууме
Как тут правильно заметили, проблема ракет с большим удельным импульсом - перегрев. В самом деле, никакой двигатель не может преобразовывать в энергию движения всю энергию сгорания топлива в энергию движения; обычно двигатели рассеивают десятки процентов энергии в виде тепла.
У химической ракеты мал удельный импульс - через двигатель проходит много топлива, и это топливо своей теплоемкостью охлаждает его. При высоком удельном импульсе так делать не получится - топлива такая ракета расходует мало, за счет теплоемкости поглотить паразитное тепло не получится, придется сбрасывать тепло излучением.
Отсюда важный вывод: РАКЕТ ДЛЯ ПОДЪЕМА С ЗЕМЛИ НА ОРБИТУ БОЛЕЕ ЭФФЕКТИВНЫХ, ЧЕМ ХИМИЧЕСКИЕ - НЕ БУДЕТ. Ракета для старта с Земли должна иметь огромную тягу двигателя, огромную мощность относительно массы. Ни о каком сбросе тепла через излучение тут не может идти речи. Даже если поставить на ракету какой-нибудь ядерный двигатель с большим удельным импульсом, тогда все равно вместе с топливом для двигателя придется тратить хладагент, так что суммарный удельный импульс окажется такой же, как у химических ракет.
Эффективность ракет-носителей лимитирует не теплота сгорания топлива, а возможность этого топлива поглощать паразитное тепло.
Теперь рассмотрим сферический звездолет в вакууме.
Обозначим коэфициент полезного действия как K, удельный импульс как I, тягу как F. Мощность, расходуемая на разгон рабочего тела вычисляется как:
W=IF/2 (1)
Паразитное тепло (P) при К.П.Д. K:
P=W*(1/K-1) (2)
Звездолет массой M и плотностью r имеет радиус R:
R=(3*M/(4*r*п))
1/3 (3)
При этом площадь его поверхности:
S=4*п*R
2=(3*M/(4*r*п))
2/3*4*п (4)
Рассеивает он при альбедо А тепла:
P=T
4*(1-A)*s*(3*M/(4*r*п))
2/3*4*п (5)
Ускорение обозначим как a, тогда:
P=(1/K-1)*I*M*a/2 (6)
Итоговая формула для ускорения, с которым может идти, не перегреваясь, корабль массой M, плотностью r, альбедо A, удельным импульсом двигателя I и К.П.Д. K:
a=8*п*T
4*(1-A)*s*(3*M/(4*r*п))
2/3/((1/K-1)*I*M) (7.1)
Иначе:
a=8*п
1/3*T
4*(1-A)*s*(3/4)
2/3*M
-1/3*I
-1*r
-2/3*(1/K-1)
-1 (7.2)
Или, после подстановки всех констант:
a=5,4844E-7*T
4*(1-A)*M
-1/3*I
-1*r
-2/3*(1/K-1)
-1 (7.3)
Представим себе звездолет массой миллион тонн и плотностью воды, температурой 300К. Его максимальное ускорение при удельном импульсе в 1/300 от скорости света, и к.п.д. 90%:
a=4442,364*r
-2/3*(1/K-1)
-1*(1-A)*M
-1/3*I
-1a=359,831484*1E9
-1/3*1E6
-1a=359,8314,84*1E-9=3,6E-7м/с
2.
Проверим расчет. При массе M=1E9, плотности r=1000 и сферической форме звездолет имеет объем:
V=M/r=1E9м
3.
R=(3*V/(4*п))
1/3=0,62*V
1/3=62.03 метра.
Площадь при этом имеет:
S=4*п*R
2=4,83E4 м
2.
Излучать при альбедо A=0.1 и температуре T=300K:
P=S*s*(1-A)*T
4=413,343*S=2E7Вт.
При такой паразитной мощности и к.п.д. 90% звездолет может иметь полезную мощность:
W=1,8E8Вт.
При скорости истечения 1000км/с каждый килограмм отбрасываемого рабочего тела будет иметь кинетическую энергию 0.5E12Дж. Всего выбрасывать такой звездолет в секунду сможет 0,36 грамм рабочего тела. При скорости истечения 1E6 и массе 1E9 это позволит разгоняться с ускорением 0,36мкм/с
2.
Это означает, что за сутки звездолет разгонится до скорости 0,031м/c, за год - 011,4м/с, израсходовав при этом 114 килограмм рабочего тела.
В принципе, все остальные конфигурации удачнее, чем сфера - сфера имеет минимальную площадь максимальном объем. Звездолет в виде диска может развить гораздо большее ускорение.
Теперь попытаемся определить время перевозки на небольшое расстояние L, считая, что рабочая масса составляет лишь небольшую часть массы корабля, и ускорение на протяжении меняется незначительно.
Полпути корабль разгоняется:
L/2 = (t/2)
2*a/2 (8 )
Иначе говоря,
t=2*sqrt(L/a) (9)
Возьмем L=1.5E11м - астрономическую единицу. Ее вышеописанный корабль покроет
за время 14900 суток.
Солнечную Систему с одного края пояса Койпера до диаметрально противоположного
такой корабль пройдет за 400 лет.
Оценим теперь оптимальный удельный импульс (у ионных двигателей скорость истечения настраивается в широком диапазоне), при отношении начальной и конечной масс O. Формула Циолковского:
O=e
V/I, V=I*ln(O) (10)
Характеристическая скорость V представляет собой две максимальных:
V=at (11)
Отсюда:
V=2*sqrt(a*L) (12.1)
a=V
2/(4*L)=(I*ln(O))
2/(4*L) (12.2)
Обозначим все состовляющие в формуле 7 кроме импульса как Z:
a=Z/I (13)
Тогда:
(I*ln(O))
2/(4*L)=Z/I (14.1)
I
3=4*L*Z/ln(O)
2 (14.2)
Эта формула позволяет определить оптимальный импульс для корабля Z, и массовым совешенством O, для переброски на расстояние L.
Например, для L=1.5E11м (астрономическая единица) и вышеописанного звездолета Z=0,36, и массовом совершенстве 1.1 (это чтоб масса менялась на протяжении полета незначительно, не усложняя расчетов; у реальных кораблей гораздо больше):
I
3=4*1.5E11*0,36/ln(1.1)
2,
I=1 334м/c.
Формула оптимального ускорения:
a=Z/(4*L*Z/ln(O)
2)
1/3=(Z*ln(O))
2/3*(4*L)
-1/3 (15)
Параметр (Z*ln(O))
2/3*4
-1/3 обозначим как Y, тогда:
a=Y/L
1/3 (16)
Время перелета:
t=2*sqrt(L
4/3/Y)=2*L
2/3*Y
-1/2 (17)
Для нашего корабля с Z=0,36, O=1.1 - Y=0,0665, 2/sqrt(Y)~7,755, обозначим как X:
t=X*L
2/3 (18)
Для L=1.5E11м (1а.е.)
t=7,755*L
2/3=1933 суток.
Теперь попробуем оценить, как уменьшение массы при расходе рабочего тела скажется на расчетах.
Итак, отношение расстояния l, на которое корабль, имеющий изначально ускорение a, улетит, изменяя свою массу, к расстоянию L, на которое бы он улетел, если бы не изменял массу - зависимость от массового совершенства O:
| 1.1 | 1.0325 |
| 1.5 | 1.1356 |
| 2 | 1.2285 |
| 5 | 1.4960 |
| 10 | 1.6564 |
| 100 | 1.9327 |
| 1000 | 2.0000 |
Выходит, даже для огромного массового совершенства 1000 - поправка всего в два раза!
Возьмем расстояние до Альфы Центавра и O=1000. Тогда четыре световых года
l=4*1E16
превращаются в нормированные два:
L=2*1E16.
Для корабля с Z=0,36 и O=1000 оптимальный импульс:
I
3=4*L*Z/ln(O)
2=300*L=6E14,
I=1,81712E6=84343м/с.
Y=(Z*ln(O))
2/3*4
-1/3=1,156.
X=2/sqrt(Y)=1,86
t=X*L
2/3=1,86*2E16
2/3=137 045 971 749 секунд, или 4342 года.
Как все это зависит от плотности?
В формулу для Z плотность входит в степени -2/3.
В формулу для Y Z входит в степени 2/3, значит плотность - -4/9.
В формулу для X Y входит в степени -1/2, значит плотность - +2/9.
Чтобы довести время перелета до сотни лет, надо понизить плотность до плотности воздуха!
Как все это зависит от массы?
В формулу для Z масса входит в степени -1/3.
В формулу для Y Z входит в степени 2/3, значит плотность - -2/9.
В формулу для X Y входит в степени -1/2, значит плотность - +1/9.
Выходит - ЗАВИСИМОСТЬ ОТ МАССЫ ФАКТИЧЕСКИ ОТСУТСТВУЕТ!
Как все это зависит от массового совершенства?
В формулу для Y O входит как ln
2/3В формулу для X Y входит в степени -1/2, значит совершенство - ln
-1/3Итак, типичное время перегона на расстояние в один парсек - 3600 лет.
Причем, от расстояния время зависит не линейно, а в степени 2/3:
на 1000 парсек перелет займет не 3600000, а всего лишь 360000 лет.
Максимальный удельный импульс, который могут дать атомные двигатели - 1E7м/с.
Это соответсвует расстоянию:
L=I
3*ln(O)
2/(4*Z)
при O=1000 и Z=0,36 это
L=1E7
3*ln(1000)
2/(4*36)=1 100 000 парсек.
Дальше этого расстояния зависимость от скорости линейная (для атомного звездолета с Z=0,36 и O=1000).
